Equazione goniometrica scomponibile con seno e coseno

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Equazione goniometrica scomponibile con seno e coseno #67169

avt
FAQ
Punto
Ho bisogno del vostro aiuto per calcolare le soluzioni di un'equazione goniometrica con seno e coseno. Ho tentato in tutti i modi che conosco per ricondurla a qualcosa di noto, senza riuscirci, ecco perché mi rivolgo a voi.

Esplicitare le soluzioni della seguente equazione goniometrica:

\sin(x)\cos(x)+2\cos(x)=0

Grazie mille.
Ringraziano: Ifrit, CarFaby
 
 

Equazione goniometrica scomponibile con seno e coseno #67174

avt
Ifrit
Amministratore
Per determinare le soluzioni dell'equazione goniometrica con seno e coseno

\sin(x)\cos(x)+2\cos(x)=0

basta raccogliere a fattore comune \cos(x)

\cos(x)(\sin(x)+2)=0

e usare la legge di annullamento del prodotto. Essa garantisce che il prodotto al primo membro è zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è nullo, vale a dire:

\cos(x)=0 \ \ \ \vee \ \ \ \sin(x)+2=0

Ci siamo ricondotti a due equazioni goniometriche elementari che possiamo studiare singolarmente e unire in seguito le soluzioni.

Scriviamo le soluzioni di

\cos(x)=0

ricordando che il coseno di un angolo è zero se e solo se l'angolo è della forma \frac{\pi}{2}+k\pi, al variare di k nell'insieme dei numeri interi, ossia:

x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Per quanto concerne l'equazione

\sin(x)+2=0 \ \ \ \to \ \ \ \sin(x)=-2

Essa non ammette soluzioni perché il seno assume esclusivamente i valori compresi tra -1\ \mbox{e} \ 1 (ossia è una funzione limitata): in altre parole, non esiste alcun angolo il cui seno sia uguale a -2.

In definitiva, possiamo concludere che l'equazione

\sin(x)\cos(x)+2\cos(x)=0

è soddisfatta dalla famiglia di soluzioni

x=\frac{\pi}{2}+k\pi

dove k varia nell'insieme dei numeri interi.
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