Equazione esplicita in due incognite con radice

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Equazione esplicita in due incognite con radice #67114

avt
Iusbe
Templare
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione irrazionale in due incognite. L'esercizio è davvero peculiare perché mi viene chiesto di rappresentare l'insieme delle soluzioni associato, senza avviare alcuno studio di funzione.

Risolvere la seguente equazione irrazionale in due incognite rappresentando l'insieme delle soluzioni sul piano cartesiano, evitando di avviare lo studio di funzione.

y=\sqrt{1-4x^2}+3

Come faccio senza lo studio di funzione? Grazie.
Ringraziano: Galois, BleakHeart
 
 

Equazione esplicita in due incognite con radice #67141

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il nostro compito consiste nel rappresentare il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano che realizzano l'uguaglianza

y=\sqrt{1-4x^2}+3

Prima di iniziare con i passaggi algebrici, è opportuno effettuare delle considerazioni preliminari. Per come si presenta, l'equazione definisce in realtà una funzione della variabile x, infatti a ogni x appartenente a un determinato insieme (non ancora calcolato), la legge associa uno e uno solo y.

In accordo con la definizione di grafico di una funzione, le coppie ordinate (x,y) che soddisfano l'uguaglianza appartengono necessariamente al grafico. In linea teorica potremmo quindi avviare uno studio di funzione completo così da ricavare il grafico qualitativo, e quindi il luogo geometrico richiesto.

Purtroppo la traccia ha posto un vincolo: non possiamo studiare la funzione con le tecniche previste dall'Analisi Matematica, ecco perché dobbiamo ingegnarci e ricondurci a qualcosa di notevole.

Prima di tutto imponiamo le condizioni di esistenza: per via della radice quadrata, dovremo imporre che il suo radicando sia maggiore o al più uguale a zero

C.E.:\ 1-4x^2\ge 0

Risolviamo la disequazione di secondo grado

1-4x^2\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ 4x^2\le 1 \ \ \ \to \ \ \ x^2\le\frac{1}{4}

da cui

-\frac{1}{2}\le x\le\frac{1}{2}

In definitiva, l'equazione ha senso nel momento in cui l'ascissa dei punti soddisfa la doppia disuguaglianza

C.E: \ -\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}

Osserviamo che y non è vincolata, di conseguenza è libera di assumere qualsiasi valore reale.

Torniamo all'equazione

y=\sqrt{1-4x^2}+3

e isoliamo il termine irrazionale al primo membro

\sqrt{1-4x^2}=y-3

Poiché la radice quadrata è positiva o al più nulla, dobbiamo richiedere che anche il secondo membro lo sia, altrimenti l'uguaglianza non può sussistere: imponiamo quindi la condizione di concordanza che vincolerà l'incognita y

C.C.: \ y-3\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ y\ge 3

Ricapitolando: la condizione di esistenza ha vincolato x, mentre la condizione di concordanza ha vincolato y

-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}\ \ \ \wedge \ \ \ y\ge 3

dove \wedge è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "e".

Tutti i punti (x,y) che violano almeno una delle due condizioni non possono essere soluzioni e dunque non appartengono al luogo geometrico definito dall'equazione.

Sotto i vincoli del C.E.\  \mbox{e} \ C.C., siamo autorizzati a elevare al quadrato i membri dell'equazione così da sbarazzarci della radice quadrata

\\ (\sqrt{1-4x^2})^2=(y-3)^2 \\ \\ 1-4x^2=(y-3)^2

Riordiniamo i termini così da ricondurci alla seguente relazione

4x^2+(y-3)^2=1

che, grazie alla definizione di frazione di frazioni, possiamo riscrivere in forma equivalente come

\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+(y-3)^2=1

Essa è l'equazione di un'ellisse traslata, infatti si presenta nella forma notevole

\frac{(x-x_{C})^2}{a^2}+\frac{(y-y_{C})^2}{b^2}=1

dove

C(x_{C}, y_{C})=(0,3)

sono le coordinate del centro, mentre

a=\frac{1}{2}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ b=1

sono rispettivamente la lunghezza del semiasse orizzontale e quella del semiasse verticale. Per poter fornire una rappresentazione adeguata dell'ellisse, abbiamo bisogno delle coordinate dei vertici dell'ellisse ricavabili con le seguenti relazioni

V_{1}(x_{C}-a, y_{C})=\left(0-\frac{1}{2}, 3\right)=\left(\frac{1}{2}, 3\right) \\ \\ \\  V_2\left(x_{C}+a, y_{C}\right)=\left(0+\frac{1}{2}, 3\right)=\left(\frac{1}{2},3\right)\\ \\ \\ V_{3}(x_{C}, y_{C}-a)=(0, 3-1)=(0,2) \\ \\ V_4(x_{C}, y_{C})=(0, 3+1)=(0,4)

Una volta rappresentata l'ellisse, dobbiamo cancellare tutti i punti le cui coordinate non rispettano le condizioni di esistenza \left(-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}\right) o la condizione di concordanza (y\ge 3), in particolare escluderemo tutti i punti aventi ordinata inferiore a 3

Esercizi equazioni in due incognite IX

Nel grafico abbiamo tratteggiato i punti dell'ellisse che non sono soluzioni dell'equazione.
Ringraziano: Galois, Iusbe
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