Equazione esplicita in due incognite con radice
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#67114
![]() Iusbe Templare | Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione irrazionale in due incognite. L'esercizio è davvero peculiare perché mi viene chiesto di rappresentare l'insieme delle soluzioni associato, senza avviare alcuno studio di funzione. Risolvere la seguente equazione irrazionale in due incognite rappresentando l'insieme delle soluzioni sul piano cartesiano, evitando di avviare lo studio di funzione. ![]() Come faccio senza lo studio di funzione? Grazie. |
Ringraziano: Galois, BleakHeart |
#67141
![]() Ifrit Amministratore | Il nostro compito consiste nel rappresentare il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano che realizzano l'uguaglianza ![]() Prima di iniziare con i passaggi algebrici, è opportuno effettuare delle considerazioni preliminari. Per come si presenta, l'equazione definisce in realtà una funzione della variabile In accordo con la definizione di grafico di una funzione, le coppie ordinate Purtroppo la traccia ha posto un vincolo: non possiamo studiare la funzione con le tecniche previste dall'Analisi Matematica, ecco perché dobbiamo ingegnarci e ricondurci a qualcosa di notevole. Prima di tutto imponiamo le condizioni di esistenza: per via della radice quadrata, dovremo imporre che il suo radicando sia maggiore o al più uguale a zero ![]() Risolviamo la disequazione di secondo grado ![]() da cui ![]() In definitiva, l'equazione ha senso nel momento in cui l'ascissa dei punti soddisfa la doppia disuguaglianza ![]() Osserviamo che Torniamo all'equazione ![]() e isoliamo il termine irrazionale al primo membro ![]() Poiché la radice quadrata è positiva o al più nulla, dobbiamo richiedere che anche il secondo membro lo sia, altrimenti l'uguaglianza non può sussistere: imponiamo quindi la condizione di concordanza che vincolerà l'incognita ![]() Ricapitolando: la condizione di esistenza ha vincolato ![]() dove Tutti i punti Sotto i vincoli del ![]() Riordiniamo i termini così da ricondurci alla seguente relazione ![]() che, grazie alla definizione di frazione di frazioni, possiamo riscrivere in forma equivalente come ![]() Essa è l'equazione di un'ellisse traslata, infatti si presenta nella forma notevole ![]() dove sono le coordinate del centro, mentre ![]() sono rispettivamente la lunghezza del semiasse orizzontale e quella del semiasse verticale. Per poter fornire una rappresentazione adeguata dell'ellisse, abbiamo bisogno delle coordinate dei vertici dell'ellisse ricavabili con le seguenti relazioni ![]() Una volta rappresentata l'ellisse, dobbiamo cancellare tutti i punti le cui coordinate non rispettano le condizioni di esistenza ![]() ![]() Nel grafico abbiamo tratteggiato i punti dell'ellisse che non sono soluzioni dell'equazione. |
Ringraziano: Galois, Iusbe |
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