Equazione goniometrica elementare con arcocoseno

Dovrei risolvere un'equazione goniometrica con il coseno molto semplice, almeno all'apparenza. Il mio problema risiede essenzialmente nell'esplicitare le soluzioni perché il secondo membro non è un valore noto del coseno. Come bisogna comportarsi in questi casi?

Calcolare le soluzioni della seguente equazione goniometrica:



Grazie.

L'equazione goniometrica



è già espressa in forma normale, infatti al primo membro compare esclusivamente il coseno e al secondo ritroviamo un numero reale. C'è solo un problema: quello al secondo membro non è un valore noto del coseno.

In questa situazione, il calcolo delle soluzioni richiede l'intervento dell'arcocoseno, che in base alla definizione



cioè è una soluzione dell'equazione. Purtroppo l'esercizio non è ancora giunto al termine: è necessario trovare le altre soluzioni, aiutandoci con la circonferenza goniometrica.

Per prima cosa, rappresentiamo il piano cartesiano , tracciamo la circonferenza di centro nell'origine e raggio 1, dopodiché disegniamo la retta di equazione .

La retta interseca la circonferenza in due punti che, congiunti con il centro, formano due segmenti (sono due raggi). Tali segmenti generano a loro volta insieme all'asse delle ascisse positive due angoli orientati in senso antiorario: essi sono soluzioni dell'equazione riferite all'intervallo con ampiezza




Ricordando che il coseno è una funzione periodica, di periodo , le soluzioni dell'equazione si ottengono aggiungendo ai valori trovati:



dove è un numero intero.

Abbiamo finito.