Determinare quoziente e resto in una divisione tra polinomi

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Determinare quoziente e resto in una divisione tra polinomi #66983

avt
FAQ
Frattale
Ho bisogno di una mano per calcolare il quoziente e il resto di una divisione tra due polinomi. Dopo aver rappresentato la tabella della divisione, ho tentato di seguire i passi per completarla: il risultato? Un completo fallimento.

Ricavare il quoziente e il resto della divisione tra i polinomi

N(x) = 4x^2-3x+6x^3-2 ; e ; D(x) = 1+2x

Verificare, inoltre, la correttezza dei risultati.

Grazie.
 
 

Determinare quoziente e resto in una divisione tra polinomi #67050

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio consiste essenzialmente nel calcolare il quoziente e il resto della divisione tra i polinomi

N(x) = 4x^2-3x+6x^3-2 ; e ; D(x) = 1+2x

Prima di impostare la tipica tabella, è necessario effettuare alcune considerazioni preliminari. Si noti che il dividendo N(x) e il divisore D(x) non sono polinomi ordinati secondo le potenze decrescenti di x, fortunatamente sono entrambi completi.

Ordiniamo quindi i due polinomi

N(x) = 6x^3+4x^2-3x-2 ; e ; D(x) = 2x+1

Perfetto! Siamo pronti per svolgere la divisione e per ricavare il polinomio quoziente Q(x) e il polinomio resto R(x) che garantiscono la seguente uguaglianza

N(x) = Q(x)D(x)+R(x)

A parole? Il dividendo è uguale al quoziente per il divisore, a cui va aggiunto il resto.

Dopo questo breve preambolo teorico, impostiamo la tabella della divisione

beginarraycccc|ccc6x^3 +4x^2 -3x -2 2x +1 ; cline5-7 endarray

Dividiamo il termine di grado massimo del dividendo per quello di grado massimo del divisore: calcoliamo cioè il quoziente tra i monomi 6x^3 e 2x:

6x^3:(2x) = 3x^(3-1) = 3x^2

Questo monomio è il primo termine del polinomio quoziente e va riportato sotto il polinomio divisore

beginarraycccc|ccc6x^3 +4x^2 -3x -2 2x +1 ; cline5-7 3x^2 endarray

Moltiplichiamo il quoziente parziale per ciascun termine del polinomio divisore e incolonniamo i vari prodotti, cambiati di segno, sotto il dividendo

beginarraycccc|ccc6x^3 +4x^2 -3x -2 2x +1 ; cline5-7 3x^2 ;-6x^3 -3x^2 ; cline1-4 endarray

Sommiamo tra loro 6x^3 e -6x^3 e ancora 4x^2 e -3x^2 e riportiamo quello che è, a conti fatti, il primo resto parziale.

beginarraycccc|ccc6x^3 +4x^2 -3x -2 2x +1 ; cline5-7 3x^2 ;-6x^3 -3x^2 ; cline1-4// x^2 -3x -2 endarray

Osserviamo che il grado del polinomio x^2-3x-2 è maggiore del grado di 2x+1, per cui non abbiamo ancora terminato.

Dividiamo il termine di grado massimo del resto per il termine di grado massimo del divisore

x^2:(2x) = (1)/(2)x

Esso rappresenta il secondo termine del polinomio quoziente

beginarraycccc|ccc6x^3 +4x^2 -3x -2 2x +1 ; cline5-7 3x^2 +(1)/(2)x ;-6x^3 -3x^2 ; cline1-4// x^2 -3x -2 endarray

Moltiplichiamo (1)/(2)x per ciascun termine del divisore e incolonniamo i prodotti, cambiati di segno, sotto il resto parziale

beginarraycccc|ccc6x^3 +4x^2 -3x -2 2x +1 ; cline5-7 3x^2 +(1)/(2)x ;-6x^3 -3x^2 ; cline1-4// x^2 -3x -2 ; ; -x^2 -(1)/(2)x ; cline2-4 endarray

Sommiamo tra loro i monomi simili e scriviamo i risultati sotto la linea di separazione

beginarraycccc|ccc6x^3 +4x^2 -3x -2 2x +1 ; cline5-7 3x^2 +(1)/(2)x ;-6x^3 -3x^2 ; cline1-4// x^2 -3x -2 ; ; -x^2 -(1)/(2)x ; cline2-4 // -(7)/(2)x -2 endarray

Il secondo resto parziale è -(7)/(2)x-2 e ha grado uguale a quello del divisore, per cui non abbiamo ancora finito.

Dividiamo il termine di grado massimo del resto parziale per 2x per ricavare il terzo termine del quoziente

-(7)/(2)x: (2x) = -(7)/(2)·(1)/(2) = -(7)/(4)

riportiamo il risultato nella tabella

beginarraycccc|ccc6x^3 +4x^2 -3x -2 2x +1 ; cline5-7 3x^2 +(1)/(2)x -(7)/(4) ;-6x^3 -3x^2 ; cline1-4// x^2 -3x -2 ; ; -x^2 -(1)/(2)x ; cline2-4 // -(7)/(2)x -2 endarray

Moltiplichiamo -(7)/(4) per ciascun termine del divisore e riportiamo il risultato sotto il resto parziale

beginarraycccc|ccc6x^3 +4x^2 -3x -2 2x +1 ; cline5-7 3x^2 +(1)/(2)x -(7)/(4) ;-6x^3 -3x^2 ; cline1-4// x^2 -3x -2 ; ; -x^2 -(1)/(2)x ; cline2-4 // -(7)/(2)x -2 ; ; +(7)/(2)x +(7)/(4) ; cline3-4 // -(1)/(4) endarray

Poiché il grado del resto è minore del grado del divisore, possiamo finalmente mettere un punto all'algoritmo della divisione ed estrapolare sia l'espressione del polinomio quoziente, sia quella del resto:

Q(x) = 3x^2+(1)/(2)x-(7)/(4) ; e ; R(x) = -(1)/(4)

Per controllare la correttezza dei risultati, è sufficiente verificare che il prodotto tra il quoziente e il divisore, sommato al resto, sia uguale al dividendo, in simboli:

Q(x)D(x)+R(x) = N(x)

Rimpiazziamo le rispettive espressioni a Q(x), D(x) e R(x), dopodiché svolgiamo i calcoli:

(3x^2+(1)/(2)x-(7)/(4))(2x+1)+(-(1)/(4)) =

Esplicitiamo il prodotto tra i polinomi

= 6x^3+3x^2+x^2+(1)/(2)x-(7)/(2)x-(7)/(4)-(1)/(4) =

e infine portiamo a termine le operazioni tra i monomi.

= 6x^3+(3+1)x^2+((1)/(2)-(7)/(2))x-(7)/(4)-(1)/(4) = 6x^3+4x^2-3x-2 = N(x)

L'uguaglianza tra il polinomio ottenuto e il polinomio dividendo garantisce la correttezza dei risultati.

Abbiamo finito!
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