Scomposizione di un trinomio con numeri periodici

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Scomposizione di un trinomio con numeri periodici #66905

avt
FAQ
Punto
Mi è capitato un esercizio sulla scomposizione di polinomi con il metodo dell'equazione associata che non sono in grado di risolvere perché il polinomio è a coefficienti decimali limitati e periodici! Come devo procedere?

Usare il metodo dell'equazione associata per fattorizzare il seguente trinomio:

-3-19,75 x+1,\overline{6}x^2

Grazie mille.
 
 

Scomposizione di un trinomio con numeri periodici #66952

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio ci chiede di determinare la scomposizione del polinomio

-3-19,75 x+1,\overline{6}x^2

i cui coefficienti sono numeri decimali.

Proprio perché è davvero scomodo lavorare con coefficienti decimali, si rende necessario ricavare le frazioni generatrici a essi associate.

Il coefficiente di x, \ 19,75, è un numero decimale limitato la cui frazione generatrice ha per numeratore il numero senza la virgola, e per denominatore un 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre della parte decimale:

19,75=\frac{1975}{100}=\frac{79}{4}

Nota: nell'ultimo passaggio abbiamo ridotto la frazione ai minimi termini, dividendo numeratore e denominatore per 25.

Occupiamoci del coefficiente di x^2, vale a dire di 1,\overline{6}: esso è un numero periodico semplice e la sua frazione generatrice coincide con quella frazione avente:

- per numeratore, la differenza tra il numero, riportato senza virgola, e la parte intera;

- per denominatore tanti nove quante sono le cifre della parte decimale.

1,\overline{6}=\frac{16-1}{9}=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}

Grazie alle informazioni ottenute, il polinomio

-3-19,75 x+1,\overline{6}x^2=

diventa

=-3-\frac{79}{4}x+\frac{5}{3}x^2=

Non abbiamo ancora terminato la fase preparatoria, ma almeno ci siamo ricondotti a un'espressione a coefficienti fratti. Per agevolare i passaggi successivi, conviene esprimere il polinomio a denominatore comune

=\frac{20x^2-237x-36}{12}=\frac{1}{12}\left(20x^2-237x-36\right)

e fattorizzare il polinomio all'interno delle parentesi tonde con il metodo dell'equazione associata.

Esso prevede di considerare l'equazione di secondo grado associata al polinomio

20x^2-237x-36=0

di calcolarne le soluzioni x_1\ \mbox{e} \ x_2 (se esistono) e di usare la relazione:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Nel caso in cui l'equazione non ammetta soluzioni, il polinomio non può essere riducibile in \mathbb{R}.

Dopo questo breve preambolo, determiniamo le radici del polinomio, ossia le soluzioni dell'equazione

20x^2-237x-36=0

Indichiamo con a, \ b\ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto:

a=20 \ \ \ , \ \ \ b=-237 \ \ \ , \ \ \ c=-36

e calcoliamo il discriminante con la formula:

\Delta=b^2-4ac= (-237)^2-4\cdot 20\cdot (-36)=59049

Dalla positività del \Delta deduciamo che l'equazione ammette due soluzioni reali x_1\ \mbox{e}\  x_2, ottenibili con la formula:

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-237)\pm\sqrt{59049}}{2\cdot 20}= \\ \\ \\ =\frac{237\pm 243}{40}=\begin{cases}\frac{237-243}{40}=-\frac{6}{40}=-\frac{3}{20}=x_1 \\ \\ \frac{237+243}{40}=\frac{480}{40}=12=x_2\end{cases}

Note le soluzioni dell'equazione, possiamo usare la regola:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

mediante la quale otteniamo l'identità:

\\ 20x^2-237x-36=20\left(x-\left(-\frac{3}{20}\right)\right)\left(x-12\right)= \\ \\ \\ = 20\left(x+\frac{3}{20}\right)\left(x-12\right)=(20x+3)(x-12)

con cui siamo in grado di esplicitare la scomposizione del polinomio di partenza.

\\ -3-\frac{79}{4}x+\frac{5}{3}x^2=\frac{1}{12}\left(20x^2-237x-36\right)= \\ \\ \\ =\frac{1}{2}(20x+3)(x-12)

Abbiamo terminato!
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