Equazione in due incognite con valori assoluti

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Equazione in due incognite con valori assoluti #66861

Iusbe Templare	In un esercizio mi viene chiesto di rappresentare nel piano cartesiano l'insieme delle soluzioni associato a un'equazione con valore assoluto in due incognite. Purtroppo non so come fare perché è la prima volta che mi capita un esercizio del genere. Rappresentare nel piano cartesiano l'insieme delle soluzioni associato alla seguente equazione in due incognite. Grazie.
	Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Equazione in due incognite con valori assoluti #66865

Omega

Amministratore

Esprimendoci con termini leggermente differenti, l'esercizio chiede di rappresentare il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano che soddisfano l'equazione in due incognite

La difficoltà del problema risiede essenzialmente nella presenza dei valori assoluti, di cui siamo fortunatamente in grado di sbarazzarcene: è sufficiente studiare il segno degli argomenti e sfruttare la definizione stessa di valore assoluto.

L'argomento del primo valore assoluto è non negativo se sussiste la disequazione

$x-1\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge 1$

mentre l'argomento del secondo è non negativo se è vera la relazione

$y+3\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ y\ge -3$

Queste informazioni sono sufficienti per concludere l'esercizio.

Se $x<1\ \mbox{e} \ y<-3$ , gli argomenti sono entrambi negativi, di conseguenza la definizione di valore assoluto consente di scrivere le seguenti uguaglianze

$|x-1|=1-x \ \ \ \mbox{e} \ \ \ |y+3|=-3-y$

grazie alle quali l'equazione diventa

$1-x-3-y=1 \ \ \ \to \ \ \ -x-y-3=0 \ \ \ \to \ \ \ x+y+3=0$

Nel piano cartesiano

$r:\ x+y+3=0$

è l'equazione della retta con coefficiente angolare

e ordinata all'origine

. Nel momento in cui la rappresentiamo, dobbiamo tenere conto delle condizioni imposte $(x<1 \ \mbox{e} \ y<-3)$ e cancellare tutti i punti che non le rispettano.

Se $x\ge 1 \ \mbox{e} \ y<-3$ , l'argomento del primo valore assoluto è non negativo, mentre quello del secondo è negativo, di conseguenza

$|x-1|=x-1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ |y+3|=-3-y$

e l'equazione diventa

$x-1-3-y=1 \ \ \ \to \ \ \ x-y-5=0$

Nel piano cartesiano

$s: \ x-y-5=0$

è l'equazione della retta con coefficiente angolare

e ordinata all'origine

. Anche in questo caso, dobbiamo tenere a mente le condizioni imposte e cancellare tutti i punti con ascissa minore di 1 o con ordinata maggiore o uguale di -3.

Se $x<1 \ \mbox{e} \ y\ge -3$ , l'argomento del primo valore assoluto è negativo, mentre il secondo è positivo o al più nullo, pertanto siamo autorizzati a scrivere le uguaglianze

$|x-1|=1-x\ \ \ \mbox{e} \ \ \ |y+3|=y+3$

grazie alle quali l'equazione diventa

$1-x+y+3=1 \ \ \ \to \ \ \ -x+y+3=0$

Nel piano cartesiano

$t:\ -x+y+3=0$

è l'equazione della retta con coefficiente angolare $m_{t}=1$ e ordinata all'origine $q_{t}=-3$ . Di tutti i suoi punti, noi prenderemo in considerazione esclusivamente quelli che soddisfano le condizioni

$x<1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ y\ge -3$

Non ci resta che analizzare l'ultimo caso: se $x>1\ \mbox{e} \ y\ge-3$ entrambi gli argomenti dei valori assoluti sono positivi (il secondo può essere al più nullo) di conseguenza sussistono le uguaglianze

$|x-1|=x-1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ |y+3|=y+3$

con cui l'equazione diventa

ossia

Nel piano cartesiano

$u:\ x+y+1=0$

individua la retta con coefficiente angolare $m_{u}=-1$ e ordinata all'origine $q_{u}=-1$ . Come nei casi precedenti, dobbiamo tenere in considerazione i vincoli cui l'equazione è soggetta ed escludere tutti i punti che non li rispettano.

Osservazione: il luogo geometrico non è altro che il bordo di un quadrato con diagonali di lunghezza pari a 2 e paralleli agli assi coordinati.

Ringraziano: Iusbe

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