Equazione in due incognite con valori assoluti

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Equazione in due incognite con valori assoluti #66861

avt
Iusbe
Templare
In un esercizio mi viene chiesto di rappresentare nel piano cartesiano l'insieme delle soluzioni associato a un'equazione con valore assoluto in due incognite. Purtroppo non so come fare perché è la prima volta che mi capita un esercizio del genere.

Rappresentare nel piano cartesiano l'insieme delle soluzioni associato alla seguente equazione in due incognite.

|x-1|+|y+3|=1

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby
 
 

Equazione in due incognite con valori assoluti #66865

avt
Omega
Amministratore
Esprimendoci con termini leggermente differenti, l'esercizio chiede di rappresentare il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano che soddisfano l'equazione in due incognite

|x-1|+|y+3|=1

La difficoltà del problema risiede essenzialmente nella presenza dei valori assoluti, di cui siamo fortunatamente in grado di sbarazzarcene: è sufficiente studiare il segno degli argomenti e sfruttare la definizione stessa di valore assoluto.

L'argomento del primo valore assoluto è non negativo se sussiste la disequazione

x-1\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge 1

mentre l'argomento del secondo è non negativo se è vera la relazione

y+3\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ y\ge -3

Queste informazioni sono sufficienti per concludere l'esercizio.

Se x<1\ \mbox{e} \ y<-3, gli argomenti sono entrambi negativi, di conseguenza la definizione di valore assoluto consente di scrivere le seguenti uguaglianze

|x-1|=1-x \ \ \ \mbox{e} \ \ \ |y+3|=-3-y

grazie alle quali l'equazione diventa

1-x-3-y=1 \ \ \ \to \ \ \ -x-y-3=0 \ \ \ \to \ \ \ x+y+3=0

Nel piano cartesiano

r:\ x+y+3=0

è l'equazione della retta con coefficiente angolare m_r=-1 e ordinata all'origine q_r=-3. Nel momento in cui la rappresentiamo, dobbiamo tenere conto delle condizioni imposte (x<1 \ \mbox{e} \ y<-3) e cancellare tutti i punti che non le rispettano.

Se x\ge 1 \ \mbox{e} \ y<-3, l'argomento del primo valore assoluto è non negativo, mentre quello del secondo è negativo, di conseguenza

|x-1|=x-1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ |y+3|=-3-y

e l'equazione diventa

x-1-3-y=1 \ \ \ \to \ \ \  x-y-5=0

Nel piano cartesiano

s: \ x-y-5=0

è l'equazione della retta con coefficiente angolare m_s=1 e ordinata all'origine q_s=-5. Anche in questo caso, dobbiamo tenere a mente le condizioni imposte e cancellare tutti i punti con ascissa minore di 1 o con ordinata maggiore o uguale di -3.

Se x<1 \ \mbox{e} \ y\ge -3, l'argomento del primo valore assoluto è negativo, mentre il secondo è positivo o al più nullo, pertanto siamo autorizzati a scrivere le uguaglianze

|x-1|=1-x\ \ \ \mbox{e} \ \ \ |y+3|=y+3

grazie alle quali l'equazione diventa

1-x+y+3=1 \ \ \ \to \ \ \ -x+y+3=0

Nel piano cartesiano

t:\ -x+y+3=0

è l'equazione della retta con coefficiente angolare m_{t}=1 e ordinata all'origine q_{t}=-3. Di tutti i suoi punti, noi prenderemo in considerazione esclusivamente quelli che soddisfano le condizioni

x<1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ y\ge -3

Non ci resta che analizzare l'ultimo caso: se x>1\ \mbox{e} \ y\ge-3 entrambi gli argomenti dei valori assoluti sono positivi (il secondo può essere al più nullo) di conseguenza sussistono le uguaglianze

|x-1|=x-1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ |y+3|=y+3

con cui l'equazione diventa

x-1+y+3=1

ossia

x+y+1=0

Nel piano cartesiano

u:\ x+y+1=0

individua la retta con coefficiente angolare m_{u}=-1 e ordinata all'origine q_{u}=-1. Come nei casi precedenti, dobbiamo tenere in considerazione i vincoli cui l'equazione è soggetta ed escludere tutti i punti che non li rispettano.

Esercizi equazioni in due incognite X

Osservazione: il luogo geometrico non è altro che il bordo di un quadrato con diagonali di lunghezza pari a 2 e paralleli agli assi coordinati.
Ringraziano: Iusbe
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Os