Problema parametrico di secondo grado

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Problema parametrico di secondo grado #66859

avt
Iusbe
Templare
Dovrei risolvere un problema sulle equazioni letterali di secondo grado usando le relazioni che esistono tra i coefficienti e le radici. Purtroppo non ottengo i risultati corretti, probabilmente perché sbaglio i calcoli.

Nell'equazione

x^2-2(k-1)x+k(k+4)=0

determinare i possibili valori da attribuire al parametro k di modo che

II. a) l'equazione ammetta radici reali;

II. b) l'equazione sia impossibile nell'insieme dei numeri reali;

II. c) x_1=x_2;

II. d) x_1=-\frac{2}{x_2}

II. e) x_1\ \mbox{e} \ x_2\in\mathbb{R} con x_1+x_2=6

Confido nel vostro aiuto, grazie.
Ringraziano: Omega
 
 

Problema parametrico di secondo grado #66867

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere il problema, bisogna conoscere molto bene le relazioni che legano le radici di un'equazione di secondo grado con i coefficienti della stessa. Sono proprio tali relazioni che consentono di costruire le equazioni con incognita il parametro richiesto.

Consideriamo l'equazione letterale di secondo grado

x^2-2(k-1)x+k(k+4)=0

Essa è già espressa in forma normale e, indicati con a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto, ricaviamo

a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=-2(k-1) \ \ \ ; \ \ \ c=k(k+4)

Essi ci permetteranno di rispondere a ciascun punto del problema.

Iniziamo dal primo, a), che ci chiede di determinare k così che l'equazione ammetta due soluzioni reali: in altri termini dobbiamo imporre che il discriminante associato sia positivo o al più nullo:

\Delta\ge 0

Calcoliamo quindi il delta con la formula

\Delta=b^2-4ac=[-2(k-1)]^2-4\cdot 1\cdot k(k+4)=

e semplifichiamone l'espressione sviluppando il quadrato di binomio e il prodotto

\\ =4(k^2-2k+1)-4k^2-16k= \\ \\ =4k^2-8k+4-4k^2-16k=4-24k

Ora che abbiamo espresso il delta in termini del parametro, bisogna imporre la condizione di realtà delle soluzioni, richiedendo che il discriminante sia non negativo

\Delta\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ 4-24k\ge 0

Ci siamo quindi ricondotti a una disequazione di primo grado nell'incognita k che possiamo risolvere isolando k al primo membro

-24k\ge -4

Cambiamo segni ai due membri e il verso della disequazione, dopodiché dividiamo a destra e a sinistra per 24

24k\le 4 \ \ \ \to \ \ \ k\le\frac{4}{24} \ \ \ \to \ \ \ k\le \frac{1}{6}

Concludiamo pertanto che l'equazione ammette soluzioni reali se e solo se il parametro è minore o al più uguale a \frac{1}{6}: questo vincolo ci servirà anche per gli altri punti del problema, quindi è meglio non perderlo mai di vista.

Occupiamoci del punto b) in cui ci viene chiesto di determinare i valori di k per cui l'equazione parametrica risulti impossibile nell'insieme dei numeri reali. Ricordiamo che un'equazione di secondo grado è impossibile in \mathbb{R} se il suo discriminante è negativo, vale a dire se sussiste la relazione

\Delta<0 \ \ \ \to \ \ \ 4-24k<0

Risolviamo la disequazione nell'incognita k, isolando quest'ultima al primo membro

-24k<-4

Cambiamo segni e verso e dividiamo i due membri per 24

24k>4 \ \ \ \to \ \ \ k>\frac{4}{24}\ \ \ \to \ \ \ k>\frac{1}{6}

L'equazione è dunque impossibile se e solo se k>\frac{1}{6}.

Trattiamo il punto c). Denotati con x_1\ \mbox{e} \ x_2 le soluzioni dell'equazione letterale, l'esercizio ci chiede di determinare i possibili valori di k per i quali x_1=x_2, cioè le radici sono coincidenti.

In accordo con la teoria, l'equazione ammette due soluzioni coincidenti se e solo se il delta associato è pari a zero

\Delta=0

Tale relaizone si traduce nell'equazione di primo grado nell'incognita k

4-24k=0

Risolviamola isolando k al primo membro

-24k=-4 \ \ \ \to \ \ \ 24k=4

da cui

k=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}

Pertanto le radici sono coincidenti se e solo se k=\frac{1}{6}.

Per quanto concerne il punto d), il nostro compito consiste nel calcolare k di modo che sussista l'uguaglianza

x_1=-\frac{2}{x_2}

Se moltiplichiamo i due membri per x_2, la precedente relazione si riscrive nella forma equivalente:

x_1x_2=-2

da cui si evince che il prodotto tra le radici deve essere uguale a -2. Usiamo a nostro vantaggio la formula che lega il prodotto delle soluzioni con i coefficienti dell'equazione:

x_1x_2=\frac{c}{a}

con cui siamo in grado di scrivere l'equazione

-2=\frac{k(k+4)}{1} \ \ \ \to \ \ \ \ k(k+4)=-2

Eseguiamo il prodotto e trasportiamo -2 a sinistra

k^2+4k+2=0

Abbiamo ottenuto un'equazione nell'incognita k che risolviamo con la formula del delta quarti. Indichiamo con a_1, \ b_1 \ \mbox{e} \ c_1 i coefficienti dell'equazione (così le distinguiamo dai coefficienti dell'equazione parametrica!)

a_1=1 \ \ \ ; \ \ \ b_1=4 \ \ \ ; \ \ \ c_1=2

e calcoliamo il delta quarti associato con la formula

\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b_1}{2}\right)^2-a_1 c_1=2^2-2=2

Poiché è positivo, le soluzioni sono reali e distinte e si ottengono con la relazione

\\ k_{1,2}=\frac{-\frac{b_1}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a_1}= \\ \\ \\ =- 2\pm\sqrt{2} =\begin{cases}-2-\sqrt{2}=k_1 \\ \\ -2+\sqrt{2}=k_2\end{cases}

Osserviamo che entrambi i valori soddisfano la condizione di realtà delle soluzioni k\le\frac{1}{6} e sono pertanto entrambe accettabili.

Nel punto e) ci viene chiesto di determinare i valori che il parametro deve assumere affinché la somma delle soluzioni sia 6:

x_1+x_2=6

Tenendo conto della relazione

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

scriviamo l'equazione nell'incognita k

6=-\frac{-2(k-1)}{1} \ \ \ \to \ \ \ 2(k-1)=6

Risolviamola dividendo a destra e a sinistra per 2, dopodiché trasportiamo -1 al secondo membro cambiandogli il segno

k-1=3 \ \ \ \to \ \ \ k=4

Attenzione! k=4 non rispetta la condizione di realtà delle soluzioni \left(k\le\frac{1}{6}\right), pertanto non è accettabile.

Ad essere pignoli, se k=4, l'equazione ammette due soluzioni complesse e coniugate la cui somma è effettivamente 6, però in questo contesto ci interessa lavorare con i numeri reali e non con i numeri complessi.

Conclusioni:

a) l'equazione ammette radici reali se e solo se k\le\frac{1}{6};

b) l'equazione è impossibile nell'insieme dei numeri reali se e solo se k>\frac{1}{6};

c) x_1=x_2, ossia le radici coincidono, se e solo se k=\frac{1}{6};

d) x_1=-\frac{2}{x_2} se e solo se k=-2\pm\sqrt{2};

e) non esiste alcun valore di k per cui x_1\ \mbox{e} \ x_2\in\mathbb{R} e la loro somma sia 6.

Abbiamo terminato!
Ringraziano: CarFaby, Iusbe
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Os