Moltiplicazione tra polinomi con coefficienti fratti

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Moltiplicazione tra polinomi con coefficienti fratti #66803

avt
FAQ
Punto
Avrei bisogno del vostro aiuto per calcolare il prodotto di due polinomi a coefficienti fratti. Sebbene abbia seguito le direttive dell'insegnante, mi blocco nel momento in cui devo operare con le frazioni e non so più come continuare.

Ridurre in forma normale il prodotto di polinomi:

\left(\frac{2}{3}x^2-x\right)\left(\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\right)

Grazie.
Ringraziano: Pi Greco, Galois, jimmypage1976
 
 

Moltiplicazione tra polinomi con coefficienti fratti #66808

avt
Galois
Coamministratore
Il nostro compito consiste nell'esprimere in forma normale il seguente prodotto di polinomi

\left(\frac{2}{3}x^2-x\right)\left(\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\right)=

Per portarlo a termine, sommiamo i prodotti di ciascun termine del primo polinomio per il secondo

=\frac{2}{3}x^{2}\left(\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\right)-x\left(\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\right)=

dopodiché svolgiamo le moltiplicazioni tra i monomi per i rispettivi polinomi: in buona sostanza, usiamo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione, grazie alla quale ci riconduciamo all'espressione:

\\ =\frac{2}{3}x^{2}\left(\frac{1}{4}x^{2}\right)+\frac{2}{3}x^{2}\left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{2}{3}x^{2}\left(\frac{1}{2}\right)+(-x)\left(\frac{1}{4}x^{2}\right)+(-x)\left(-\frac{1}{3}x\right)+\\ \\ \\ +(-x)\left(\frac{1}{2}\right)=

A questo punto è sufficiente svolgere le moltiplicazioni tra i monomi, usando come si devono:

- la regola dei segni, che permette di determinare i segni da dare ai coefficienti numerici;

- la regola sul prodotto di due potenze con la stessa base, mediante la quale ricaviamo gli esponenti da attribuire alle lettere.

\\ =\left[\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}\right]x^{2+2}+\left[\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)\right]x^{2+1}+\left[\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\right]x^{2}-\frac{1}{4}x^{1+2}+\frac{1}{3}x^{1+1}-\frac{1}{2}x=\\ \\ \\ =\left[\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}\right]x^{4}+\left[\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)\right]x^{3}+\left[\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\right]x^{2}-\frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{3}x^{2}-\frac{1}{2}x=

Svolgiamo il prodotto tra le frazioni, semplificandole in croce se possibile

\\ =\left[\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\right]x^{4}+\left[\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)\right]x^{3}+\left[\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1}\right]x^{2}-\frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{3}x^{2}-\frac{1}{2}x= \\ \\ \\ =\frac{1}{6}x^{4}-\frac{2}{9}x^{3}+\frac{1}{3}x^{2}-\frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{3}x^{2}-\frac{1}{2}x=

Purtroppo non abbiamo ancora finito! Il polinomio risultante non è ridotto in forma normale, per via dei monomi simili che vi compaiono: per concludere l'esercizio occorre sommare tra loro i monomi simili.

=\frac{1}{6}x^{4}+\left(-\frac{2}{9}-\frac{1}{4}\right)x^{3}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)x^2-\frac{1}{2}x=

Dopo averle espresso a denominatore comune, addizioniamo le frazioni racchiuse dalle parentesi

=\frac{1}{6}x^{4}+\left(\frac{-8-9}{36}\right)x^{3}+\left(\frac{1+1}{3}\right)x^2-\frac{1}{2}x=

e riportiamo il risultato finale!

=\frac{1}{6}x^{4}-\frac{17}{36}x^{3}+\frac{2}{3}x^{2}-\frac{1}{2}x

È fatta!
Ringraziano: Iusbe
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Os