Equazione di secondo grado in 2 incognite con modulo

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#66754
avt
Iusbe
Templare

Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione in due incognite con valore assoluto. Ho provato a esplicitare il valore assoluto ricavando un'equazione che ricorda quella di una circonferenza, purtroppo la soluzione propone qualcosa di completamente differente.

Risolvere la seguente equazione in due incognite con valore assoluto, rappresentando nel piano cartesiano l'insieme delle soluzioni associato a essa.

x^2+y^2+|2x+2y|−2 = 0

Grazie.

Ringraziano: Omega
#66760
avt
Galois
Amministratore

Consideriamo l'equazione in due incognite

x^2+y^2+|2x+2y|−2 = 0

e proponiamoci l'obiettivo di rappresentare il suo insieme soluzione nel piano cartesiano.

La peculiarità che contraddistingue questa equazione è la presenza del valore assoluto di cui possiamo sbarazzarcene a patto di analizzare il segno del suo argomento.

Impostiamo dunque la disequazione in due incognite

2x+2y ≥ 0

e risolviamola isolando y al primo membro

y ≥ −x

Deduciamo pertanto che l'argomento del valore assoluto è:

- positivo o nullo se sussiste la relazione y ≥ −x soddisfatta da tutti i punti del piano che giacciono al di sopra o appartengono alla retta di equazione y = −x, ossia dai punti che stanno sul semipiano superiore generato dalla bisettrice del secondo e quarto quadrante;

- negativo se vige la relazione y < −x, soddisfatta dai punti del piano che giacciono al di sotto della bisettrice del secondo e quarto quadrante.

In accordo con la definizione di modulo, scriveremo le seguenti identità condizionate

|2x+2y| = 2x+2y se y ≥ −x ;−2x−2y se y < −x

Se y ≥ −x, l'argomento del modulo è non negativo, pertanto

|2x+2y| = 2x+2y

di conseguenza l'equazione diventa

Γ_1: x^2+y^2+2x+2y−2 = 0

Nel piano, essa non è altri che l'equazione di una circonferenza, infatti si presenta nella forma

x^2+y^2+ax+by+c = 0

dove

a = 2 , b = 2 , c = −2

Avendo a disposizione questi valori, siamo in grado di esplicitare le coordinate del centro della circonferenza C_1(x_(C_1), y_(C_1)) e la lunghezza del suo raggio R_1, basta applicare le seguenti formule

C_1(−(a)/(2),−(b)/(2)) = (−1,−1) ; R_1 = √(x_(C_1)^2+y_(C_1)^2−c) = √((−1)^2+(−1)^2−(−2)) = √(4) = 2

Γ_1 è quindi la circonferenza di centro C_1(−1,−1) e raggio R_1 = 2. Rammentiamo che di tutti i punti della circonferenza, siamo interessati esclusivamente a quelli che sovrastano la retta y = −x.

Se y < −x, l'argomento del valore assoluto è negativo, di conseguenza

|2x+2y| = −2x−2y

pertanto siamo autorizzati a riscrivere l'equazione nella forma

Γ_2: x^2+y^2−2x−2y−2 = 0

Ci siamo ricondotti ancora una volta all'equazione di una circonferenza, con coefficienti

a = −2 , b = −2 , c = −2

Determiniamone le coordinate del centro e la lunghezza del raggio con le medesime relazioni viste in precedenza

C_2(−(a)/(2),−(b)/(2)) = (1,1) ; R_2 = √(x_(C_2)^2+y_(C_2)^2−c) = √(1+1−(−2)) = √(4) = 2

Γ_2 è quindi la circonferenza di centro C_2(1,1) e raggio R = 2. Sia chiaro che di tutti i suoi punti, prenderemo in considerazione esclusivamente quelli che rispettano il vincolo y < −x, ossia i punti che giacciono al di sotto della bisettrice del secondo e quarto quadrante.

Il luogo geometrico associato all'equazione in due incognite coincide con due porzioni di circonferenze, come riportato nella seguente figura:

Esercizi equazioni in due incognite XI

Esercizio concluso!

Ringraziano: Omega, Pi Greco, Iusbe, tommy21
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