Equazione letterale di secondo grado fratta

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Equazione letterale di secondo grado fratta #66736

avt
pello
Punto
Avrei bisogno del vostro intervento per discutere un'equazione parametrica fratta di secondo grado. Ho tentato una strategia risolutiva, ma i miei risultati non coincidono con quelli proposti dal libro.

Determinare le soluzioni reali dell'equazione parametrica fratta di secondo grado al variare del parametro reale k

(k)/(2)+(2k-1)/(6(x-2))-(k+1)/(3(x+1)) = 0

Grazie.
 
 

Equazione letterale di secondo grado fratta #66740

avt
Iusbe
Templare
Per discutere l'equazione letterale fratta

(k)/(2)+(2k-1)/(6(x-2))-(k+1)/(3(x+1)) = 0

bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza richiedendo che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero. Scriviamo quindi le due disuguaglianze

6(x-2) ne 0 → x-2 ne 0 → x ne 2 ; 3(x+1) ne 0 → x+1 ne 0 → x ne-1

grazie alle quali ricaviamo le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni

C.E.: x ne-1 ∧ x ne 2

dove ∧ indica il connettivo logico "e".

Avendo a disposizione l'insieme di esistenza, possiamo continuare la discussione scrivendo il primo membro sotto forma di un'unica frazione algebrica.

Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore e svolgiamo i calcoli

(3k(x-2)(x+1)+(2k-1)(x+1)-(k+1)·2(x-2))/(6(x-2)(x+1)) = 0

Sotto i vincoli dettati dalle condizioni di esistenza, possiamo cancellare il denominatore comune ottenendo l'equazione equivalente

3k(x-2)(x+1)+(2k-1)(x+1)-(k+1)·2(x-2) = 0

A questo punto svolgiamo tutti i prodotti e, una volta sommati i monomi simili, ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti di x

3kx^2-(3+3k)x+3 = 0

Raccogliamo il fattore comune 3 e semplifichiamolo

3(kx^2-(1+k)x+1) = 0 → kx^2-(1+k)x+1 = 0

Ci siamo ricondotti a un'equazione parametrica di secondo grado i cui coefficienti sono

a = k ; b = -(1+k) ; c = 1

Poiché il coefficiente direttore a dipende dal parametro k, il grado dell'equazione stessa dipende dal parametro. Infatti se a = 0, ossia se k = 0, ricaviamo l'equazione di primo grado

0·x^2-(1+0)x+1 = 0 → -x+1 = 0

che risolviamo isolando l'incognita al primo membro

-x = -1 → x = 1

Se a ne 0, vale a dire se k ne 0, l'equazione è di grado due. In tal caso, abbiamo bisogno del discriminante per continuare la trattazione. Ricordiamo infatti che il numero di soluzioni reali di un'equazione di secondo grado dipende dal segno del delta, più precisamente:

- se Δ > 0, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte;

- se Δ = 0, l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti;

- se Δ < 0, l'equazione non ammette soluzioni reali.

Calcoliamo quindi il delta con la formula

Δ = b^2-4ac = (-(1+k))^2-4·1·k =

Una volta sviluppato il quadrato di binomio e sommato tra loro i termini simili ricaviamo

= k^2+2k+1-4k = k^2-2k+1 = (k-1)^2

A conti fatti, il discriminante associato è un quadrato e in quanto tale può essere positivo o al più nullo. Questa informazione ci permette di affermare che l'equazione ammette certamente soluzioni reali, ricavabili con la relazione

x_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-(-(1+k))±√((k-1)^2))/(2k) = (1+k±(k-1))/(2k) = (1+k+k-1)/(2k) = (2k)/(2k) = 1 = x_1 ; (1+k-k+1)/(2k) = (2)/(2k) = (1)/(k) = x_2

Osservazione: formalmente nel momento in cui estraiamo la radice quadrata di (k-1)^2 dovremmo inserire il valore assoluto alla base del quadrato, ma il simbolo ± consente di eliminare il modulo perché include tutti i casi possibili.

Osserviamo che una soluzione non dipende dal parametro k e rispetta le condizioni di esistenza, indipendentemente dal parametro k ne 0, infatti, x_1 = 1 è soluzione dell'equazione parametrica.

Per quanto concerne la seconda soluzione, essa dipende dal parametro k e affinché sia accettabile deve rispettare i vincoli:

x_2 ne-1 ; x_2 ne 2

Partiamo dalla prima ricaviamo una disuguaglianza che trattiamo alla stregua di un'equazione fratta di primo grado

x_2 ne-1 → (1)/(k) ne-1

Esprimiamola in forma normale trasportando tutti i termini al primo membro e scrivendo quest'ultimo sotto forma di un'unica frazione algebrica

(1)/(k)+1 ne 0 → (1+k)/(k) ne 0

da cui cancellando il denominatore ricaviamo

1+k ne 0 → k ne-1

Analizziamo la seconda condizione

x_2 ne 2 → (1)/(k) ne 2

da cui

(1)/(k)-2 ne 0 → (1-2k)/(k) ne 0

Eliminando il denominatore ricaviamo

1-2k ne 0 → -2k ne-1 → k ne(1)/(2)

In definitiva, x_2 = (1)/(k) è soluzione accettabile se e solo se

k ne 0 ; k ne-1 ; k ne(1)/(2)

Dobbiamo verificare cosa succede per k = -1 e per k = (1)/(2).

Per k = -1, l'equazione di partenza diventa

-(1)/(2)-(1)/(2(x-2)) = 0

da cui, calcolando il minimo comune multiplo

(-(x-2)-1)/(2(x-2)) = 0

Risolviamo l'equazione fratta di primo grado cancellando il denominatore e risolvendo l'equazione che otteniamo

-(x-2)-1 = 0 → -x+2-1 = 0 → x = 1

Essa è soluzione accettabile perché rispetta le condizioni di esistenza.

Per k = (1)/(2), l'equazione parametrica si traduce in

(1)/(4)-(1)/(2(1+x)) = 0

da cui

(x-1)/(4(x+1)) = 0 → x-1 = 0 → x = 1

Ora disponiamo di tutte le informazioni per concludere l'esercizio:

- se k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = (1)/(2), l'equazione ammette una e una sola soluzione x = 1;

- se k ne-1 ∧ k ne 0 ∧ k ne(1)/(2), l'equazione ammette due soluzioni reali

x_1 = 1 ; x_2 = (1)/(k)

L'esercizio è terminato.
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