Risolvere un'equazione parametrica fratta di secondo grado

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Risolvere un'equazione parametrica fratta di secondo grado #66730

avt
*Vale°
Punto
Non ho proprio idea di come risolvere il seguente esercizio sulle equazioni letterali fratte di secondo grado. Nonostante abbia eseguito tutti i calcoli, le mie conclusioni sembrano errate.

Determinare le soluzioni dell'equazione letterale fratta di secondo grado

(k+3kx-x^2)/(x^2+x)-(7k-4)/(6) = 0

al variare del parametro reale k.

Grazie mille!
 
 

Risolvere un'equazione parametrica fratta di secondo grado #66731

avt
Iusbe
Templare
L'esercizio ci chiede di calcolare le soluzioni dell'equazione letterale fratta

(k+3kx-x^2)/(x^2+x)-(7k-4)/(6) = 0

al variare del parametro reale k, e per farlo nella maniera corretta dobbiamo imporre le condizioni di esistenza. Proprio perché è impossibile dividere per zero richiediamo che i denominatori che contengono l'incognita siano non nulli:

x^2+x ne 0

Per analizzare questa disuguaglianza, è sufficiente scomporre il polinomio al primo membro raccogliendo totalmente il fattore comune x e applicare in seguito la legge di annullamento del prodotto

x(x+1) ne 0 → x ne 0 ∧ x ne-1

Le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni sono quindi:

C.E. : x ne 0 ∧ x ne-1

Continuiamo la trattazione esprimendo l'equazione fratta in forma normale: dobbiamo fare in modo che al primo membri si presenti esclusivamente un'unica frazione algebrica.

(k+3kx-x^2)/(x(x+1))-(7k-4)/(6) = 0

Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore

(6(k+3kx-x^2)-(7k-4)x(x+1))/(6x(x+1)) = 0

e in seguito sfruttiamo il secondo principio di equivalenza per le equazioni, il quale consente di cancellare il denominatore comune e di considerare l'equazione equivalente

6(k+3kx-x^2)-(7k-4)x(x+1) = 0

Sviluppiamo i prodotti, sommiamo tra loro i monomi simili e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita

-(2+7k)x^2+(4+11k)x+6k = 0

da cui, cambiando i segni ai termini

(2+7k)x^2-(4+11k)x-6k = 0

Ci siamo ricondotti a un'equazione letterale di secondo grado con coefficienti

a = 2+7k ; b = -(4+11k) ; c = -6k

il cui coefficiente direttore è letterale, motivo per cui dobbiamo considerare due casi: a = 0 e a ne 0.

Se a = 0, ossia se

2+7k = 0 → k = -(2)/(7)

ci riduciamo a un'equazione di primo grado che risolviamo isolando l'incognita al primo membro

-(6x)/(7)-(12)/(7) = 0 → -6x-12 = 0 → x = -2

Il valore ottenuto è soluzione dell'equazione perché rispetta le condizioni di esistenza.

Nel caso in cui

a ne 0 → k ne-(2)/(7)

continuiamo la trattazione sfruttando la formula del discriminante

Δ = b^2-4ac = (-(4+11k))^2-4(2+7k)·(-6k) =

Sviluppiamo il quadrato di binomio e svolgiamo i calcoli

= 289k^2+136 k+16 = (4+17k)^2

Nota: nell'ultimo passaggio abbiamo scomposto il trinomio come il quadrato di 4+17k.

Abbiamo scoperto che il discriminante è un quadrato e a prescindere dai valori assunti da k ne-(2)/(7) esso è positivo o nullo, di conseguenza l'equazione ammette due soluzioni reali ricavabili con la formula

x_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (4+11k±√((4+17k)^2))/(2(2+7k)) = (4+11k±(4+17k))/(2(2+7k)) = (4+11k+4+17k)/(2(2+7k)) = (8+28k)/(2(2+7k)) = (4(2+7k))/(2(2+7k)) = 2 = x_1 ; (4+11k-4-17k)/(2(2+7k)) = (-6k)/(2(2+7k)) = -(3k)/(2+7k) = x_2

Osservazione: dal punto di vista formale avremo dovuto utilizzare il valore assoluto per esplicitare la radice quadrata di (4+17k)^2 e scrivere

√((4+17k)^2) = |4+17k|

D'altra parte, il simbolo ± consente di eliminare il modulo perché contempla tutti i casi possibili, ecco perché non compare nelle soluzioni.

In buona sostanza per k ne-(2)/(7) abbiamo ottenuto due valori:

• x_(1) = 2 è accettabile perché rispetta le C.E.;

• x_2 = -(3k)/(2+7k) che dipende da k.

Affinché x_2 sia accettabile, deve verificare le condizioni di esistenza, cioè:

x_2 ne 0 ; x_2 ne-1

Ciascuno di questi vincoli si traduce in una disuguaglianza che risolviamo trattandola come un'equazione fratta di primo grado nell'incognita k.

Dalla prima condizione otteniamo la disuguaglianza

x_2 ne 0 → -(3k)/(2+7k) ne 0

da cui eliminando il denominatore

-3k ne 0 → k ne 0

Se k = 0, l'equazione letterale fratta si tramuta in

(2)/(3)-(x^2)/(x+x^2) = 0

da cui

(2x+2x^2-3x^2)/(3(x+x^2)) = 0

Eliminiamo il denominatore e sommiamo tra loro i termini simili del numeratore

2x-x^2 = 0

Data la nullità del termine noto, l'ultima relazione individua un'equazione spuria che risolviamo raccogliendo il fattor comune x e usando a dovere la legge di annullamento del prodotto

x(2-x) = 0 → x = 0 ∨ x = 2

Il valore x = 0 non è accettabile perché viola la condizione x ne 0, mentre x = 2 è soluzione.

Dalla seconda relazione, cioè x_2 ne-1 ricaviamo la disuguaglianza

-(3k)/(2+7k) ne-1

che analizziamo portando tutti i termini al primo membro e calcolando in seguito il denominatore comune

-(3k)/(2+7k)+1 ne 0 ; (-3k+2+7k)/(2+7k) ne 0

Eliminiamo il denominatore e sommiamo tra loro i monomi simili a numeratore

4k+2 ne 0 → k ne-(1)/(2)

Se k = -(1)/(2), l'equazione parametrica diventa

(-(1)/(2)-(3x)/(2)-x^2)/(x+x^2)+(5)/(4) = 0

Calcoliamo il minimo comune multiplo al numeratore principale

((-1-3x-2x^2)/(2))/(x+x^2)+(5)/(4) = 0

dopodiché esprimiamo in forma normale la frazione di frazioni moltiplicando il numeratore principale per il reciproco del denominatore principale

(-1-3x-2x^2)/(2)·(1)/(x+x^2)+(5)/(4) = 0

da cui

(-1-3x-2x^2)/(2(x+x^2))+(5)/(4) = 0

Sommiamo le frazioni algebriche al primo membro ed eseguiamo tutti i calcoli necessari a esprimere l'equazione fratta in forma canonica

(5x+5x^2-2-6x-4x^2)/(4(x+x^2)) = 0 ; (x^2-x-2)/(4(x+x^2)) = 0

Cancelliamo il denominatore e consideriamo l'equazione di secondo grado

x^2-x-2 = 0

le cui soluzioni si calcolano con la relazione

x_(1,2) = (-(-1)±√((-1)^2-4·1·(-2)))/(2) = (1±3)/(2) = (1-3)/(2) = -1 ; (1+3)/(2) = 2

Il valore x = -1 non è accettabile perché non rispetta le condizioni di esistenza, mentre x = 2 è soluzione dell'equazione parametrica. Finalmente abbiamo analizzato tutti i casi possibili e possiamo scrivere per bene le conclusioni.

Se k = -(2)/(7), k = -(1)/(2) oppure k = 0 l'equazione ammette una soluzione che è x = 2.

Se invece k ne-(2)/(7), k ne-(1)/(2) e k ne 0 l'equazione ammette due soluzioni reali

x_1 = 2 ; x_2 = -(3k)/(2+7k)

Abbiamo concluso.
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby
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