Discutere un'equazione parametrica con 2 parametri

Riscontro delle grossissime difficoltà con le equazioni parametriche di secondo grado e in particolare con quella proposta nel seguente esercizio perché sono presenti addirittura due parametri.

Al variare dei parametri reali , determinare le eventuali soluzioni reali della seguente equazione letterale di secondo grado



Grazie.

Consideriamo l'equazione parametrica di secondo grado nei parametri



Il nostro intento consiste nel determinare le eventuali soluzioni reali al variare di nell'insieme dei numeri reali.

Purtroppo l'equazione non si presenta in forma canonica, ecco perché svolgeremo i passaggi algebrici che consentono di esprimerla come



Per prima cosa sviluppiamo sia il prodotto al primo membro, sia quello al secondo, cosicché possiamo sbarazzarci delle parentesi tonde



Trasportiamo i termini al primo membro cambiando opportunamente i loro segni



sommiamo tra loro i monomi simili e infine ordiniamo secondo le potenze decrescenti dell'incognita



L'equazione è ridotta in forma normale e i suoi coefficienti sono



Notiamo che il coefficiente di è letterale, infatti il valore di dipende dai valori assunti da . Questa è un'informazione davvero importante perché se il coefficiente fosse nullo, il grado dell'equazione si ridurrebbe, mentre per diverso da zero il grado sarebbe comunque due. Analizziamo a fondo la questione.

Il coefficiente di è zero se e solo se sussiste la relazione



che possiamo analizzare con la legge di annullamento del prodotto



Se otteniamo un'equazione parametrica di primo grado



la cui discussione avviene sulla nullità o meno del coefficiente di . In particolare:

- se otteniamo



che è praticamente un'identità.

- se , siamo autorizzati a dividere i due membri dell'equazione per , ottenendo così



Questo caso è completo.

Se , l'equazione si riduce a una parametrica di primo grado



la cui discussione avviene sul coefficiente di :

- se otteniamo l'identità



soddisfatta per ogni ;

- se , possiamo dividere i due membri dell'equazione per ottenendo la soluzione



Se , l'equazione è certamente di secondo grado perché il coefficiente direttore non si annulla: possiamo calcolare il discriminante associato con la formula



Sviluppiamo il quadrato di binomio e sommiamo tra loro i monomi simili



Il trinomio ottenuto è praticamente il quadrato del binomio , pertanto:



In definitiva, abbiamo scoperto che il discriminante non è altro che il quadrato di un binomio e in quanto tale sarà necessariamente positivo o al più nullo.

In accordo con la teoria delle equazioni di secondo grado, l'equazione parametrica ammette necessariamente due soluzioni reali che possono essere distinte o coincidenti a seconda della positività o della nullità del delta.

In entrambi i casi, possiamo ricavare le soluzioni usando la relazione



A rigore, nel momento in cui estraiamo la radice quadrata del quadrato di binomio dovremmo considerare il valore assoluto della base, ma la presenza del simbolo permette di eliminare il modulo perché include tutte le possibili casistiche. Scriviamo quindi:



È giunto il momento di trarre le dovute conclusioni:

- se , l'equazione è soddisfatta per ogni ;

- se , l'equazione ammette l'unica soluzione ;

- se , l'equazione ammette l'unica soluzione ;

- se , l'equazione ammette due soluzioni reali



L'esercizio è completo.