Equazione parametrica di secondo grado con due parametri
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#66488
 Srayk Punto | Mi è capitato un esercizio sulle equazioni parametriche di secondo grado in due parametri che non riesco a svolgere. Ho tentato di applicare le formule risolutive, ma non ottengo i risultati del testo. Calcolare le soluzioni reali dell'equazione parametrica di secondo grado  al variare dei parametri reali  .Grazie. |
#66493
 Omega Amministratore | Il nostro compito consiste nel determinare le soluzioni reali dell'equazione parametrica di secondo grado al variare dei parametri .Osserviamo preliminarmente che l'equazione è espressa in forma normale, e indicando con  rispettivamente il coefficiente di  , il coefficiente di  e il termine noto ricaviamo Notiamo inoltre che  non dipende da alcun parametro, conseguentemente il grado dell'equazione è 2 indipendentemente dai valori assunti da .Per avviare la discussione, abbiamo bisogno di calcolare il discriminante, ma attenzione! Poiché  è facilmente divisibile per 2, possiamo pensar bene di sfruttare la formula del delta quarti Sviluppiamo il quadrato di binomio e sommiamo in seguito i monomi simili  Prima di continuare con la trattazione, ricordiamo che in base al segno del delta quarti, l'equazione può avere due soluzioni reali e distinte, reali e coincidenti oppure essere impossibile sull'insieme dei numeri reali, in particolare: - se  , l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte;- se  , l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti;- se  , l'equazione non ammette soluzioni reali.Nel caso considerato, il delta quarti è un quadrato e in quanto tale positivo o al più nullo. Ciò garantisce che l'equazione parametrica ammette soluzioni reali a prescindere dai valori assunti da : dobbiamo fare esclusivamente un distinguo, considerando il caso in cui il delta quarti è nullo e quello in cui è positivo.Il  è nullo se e solo se sussiste l'equazione Risolviamola osservando che un quadrato è nullo nel momento in cui la base è nulla, ossia se  Imponendo tale condizione, l'equazione diventa  Il primo membro può essere scomposto vedendolo come il quadrato del binomio  , ecco perché siamo autorizzati a riscrivere l'equazione nella forma da cui, imponendo la nullità della base  Nel caso in cui la base del quadrato è diversa da zero, cioè se  allora il delta quarti è positivo pertanto l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte ottenibili con la formula ridotta:  Osservazione importante: a rigore dalla definizione di valore assoluto segue che:  A conti fatti, il modulo è totalmente inutile a causa del simbolo  , che consente di considerare tutti i casi possibili: sia quello per cui  , sia quello per cui  .Conclusioni Se  , l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti Se  , l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte Infine, per fare i pignoli, non esistono numeri reali tali da rendere l'equazione parametrica impossibile.Metodo alternativo L'equazione parametrica poteva essere risolta avvalendosi delle opportune tecniche di scomposizione, non prima di aver svolto i calcoli  Procediamo mediante raccoglimento parziale, mettendo in evidenza il fattore comune tra i primi due termini e  tra gli ultimi due Raccogliendo totalmente  ricaviamo l'equazione di cui possiamo trovare le soluzioni utilizzando la legge di annullamento del prodotto che conduce alle due equazioni di primo grado  Indipendentemente dai valori assunti dai parametri abbiamo sempre e comunque soluzioni reali. Ecco fatto! |
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