Equazione parametrica di secondo grado con due parametri

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Equazione parametrica di secondo grado con due parametri #66488

avt
Srayk
Punto
Mi è capitato un esercizio sulle equazioni parametriche di secondo grado in due parametri che non riesco a svolgere. Ho tentato di applicare le formule risolutive, ma non ottengo i risultati del testo.

Calcolare le soluzioni reali dell'equazione parametrica di secondo grado

x^2-2(m-n)x-4mn=0

al variare dei parametri reali m\ \mbox{e} \ n.

Grazie.
 
 

Equazione parametrica di secondo grado con due parametri #66493

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nel determinare le soluzioni reali dell'equazione parametrica di secondo grado

x^2-2(m-n)x-4mn=0

al variare dei parametri m\ \mbox{e} \ n.

Osserviamo preliminarmente che l'equazione è espressa in forma normale, e indicando con a, \ b\ \mbox{e}\ c rispettivamente il coefficiente di x^2, il coefficiente di x e il termine noto ricaviamo

a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=-2(m-n) \ \ \ ; \ \ \ c=-4mn

Notiamo inoltre che a non dipende da alcun parametro, conseguentemente il grado dell'equazione è 2 indipendentemente dai valori assunti da m\ \mbox{e} \ n.

Per avviare la discussione, abbiamo bisogno di calcolare il discriminante, ma attenzione! Poiché b=-2(m-n) è facilmente divisibile per 2, possiamo pensar bene di sfruttare la formula del delta quarti

\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-a c=(-(m-n))^2-1\cdot (-4mn)=

Sviluppiamo il quadrato di binomio e sommiamo in seguito i monomi simili

=m^2+n^2-2mn+4mn=m^2+2mn +n^2=(m+n)^2

Prima di continuare con la trattazione, ricordiamo che in base al segno del delta quarti, l'equazione può avere due soluzioni reali e distinte, reali e coincidenti oppure essere impossibile sull'insieme dei numeri reali, in particolare:

- se \frac{\Delta}{4}>0, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte;

- se \frac{\Delta}{4}=0, l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti;

- se \frac{\Delta}{4}<0, l'equazione non ammette soluzioni reali.

Nel caso considerato, il delta quarti è un quadrato e in quanto tale positivo o al più nullo. Ciò garantisce che l'equazione parametrica ammette soluzioni reali a prescindere dai valori assunti da m\ \mbox{e} \ n: dobbiamo fare esclusivamente un distinguo, considerando il caso in cui il delta quarti è nullo e quello in cui è positivo.

Il \frac{\Delta}{4} è nullo se e solo se sussiste l'equazione

(m+n)^2=0

Risolviamola osservando che un quadrato è nullo nel momento in cui la base è nulla, ossia se

m+n=0 \ \ \ \to \ \ \ m=-n

Imponendo tale condizione, l'equazione diventa

x^2-2(-n-n)-4(-n)\cdot n=0 \ \ \ \to \ \ \ x^2+4n+4n^2=0

Il primo membro può essere scomposto vedendolo come il quadrato del binomio x+2n, ecco perché siamo autorizzati a riscrivere l'equazione nella forma

(x+2n)^2=0

da cui, imponendo la nullità della base

 x+2n=0 \ \ \ \to \ \ \ x=-2n

Nel caso in cui la base del quadrato è diversa da zero, cioè se

m+n\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ m\ne -n

allora il delta quarti è positivo pertanto l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte ottenibili con la formula ridotta:

\\ x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=\frac{-\frac{-2(m-n)}{2}\pm\sqrt{(m+n)^2}}{1}=\\ \\ \\ = m-n\pm(m+n)=\begin{cases}m-n+m+n=2m \\ \\ m-n-m-n=-2n\end{cases}

Osservazione importante: a rigore dalla definizione di valore assoluto segue che:

\sqrt{(m+n)^2}=|m+n|

A conti fatti, il modulo è totalmente inutile a causa del simbolo \pm, che consente di considerare tutti i casi possibili: sia quello per cui m+n\ge 0, sia quello per cui m+n<0.

Conclusioni

Se m=-n, l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti

x_1=x_2=-2n

Se m\ne -n, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte

x_{1}=-n\ \ \ ; \  \ \ x_2=m

Infine, per fare i pignoli, non esistono numeri reali m\ \mbox{e} \ n tali da rendere l'equazione parametrica impossibile.

Metodo alternativo

L'equazione parametrica poteva essere risolta avvalendosi delle opportune tecniche di scomposizione, non prima di aver svolto i calcoli

x^2-2(m-n)x-4mn=0 \ \ \ \to \ \ \ x^2-2mx +2nx-4mn=0

Procediamo mediante raccoglimento parziale, mettendo in evidenza il fattore comune x tra i primi due termini e 2n tra gli ultimi due

x(x-2m)+2n(x-2m)=0

Raccogliendo totalmente x-2m ricaviamo l'equazione

(x+2n)(x-2m)=0

di cui possiamo trovare le soluzioni utilizzando la legge di annullamento del prodotto che conduce alle due equazioni di primo grado

\\ x+2n=0 \ \ \ \to \ \ \ x=-2n \\ \\ x-2m=0 \ \ \ \to \ \ \ x=2m

Indipendentemente dai valori assunti dai parametri abbiamo sempre e comunque soluzioni reali.

Ecco fatto!
Ringraziano: CarFaby, Srayk, Iusbe, tommy21
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