Studiare le soluzioni di un'equazione parametrica di grado 2

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Studiare le soluzioni di un'equazione parametrica di grado 2 #66397

avt
anali2
Punto
Mi è capitato un problema sulle equazioni parametriche di secondo grado in cui mi si chiede di determinare i valori del parametro affinché vengano soddisfatte alcune condizioni sulle radici. Potete aiutarmi per favore?

Data l'equazione parametrica di secondo grado

k(k-1)x^2+2(k-1)x-4=0

(a) calcolare il numero di soluzioni reali al variare del parametro reale k;

(b) determinare il valore di k per il quale la somma delle radici sia \frac{2}{3};

(c) esplicitare i possibili valori di k per i quali il prodotto delle radici sia pari a -2.

Grazie.
 
 

Studiare le soluzioni di un'equazione parametrica di grado 2 #66398

avt
Galois
Amministratore
Risolveremo il problema affrontando i punti uno alla volta, ma prima di iniziare con la discussione, bisogna effettuare alcune considerazioni di carattere generale.

Osserviamo che l'equazione letterale di secondo grado

k(k-1)x^2+2(k-1)x-4=0

è già ridotta in forma normale. Indicati inoltre con a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, il coefficiente di x e il termine noto possiamo scrivere

a=k(k-1) \ \ \ ; \  \ \ b=2(k-1) \ \ \ ; \  \ \ c=-4

Il coefficiente di x^2 è letterale, pertanto il grado stesso dell'equazione potrebbe dipendere dal parametro. In particolare se a=0, il grado diminuirà, mentre se a\ne 0, il grado sarà necessariamente pari a 2.

Dopo queste premesse, possiamo iniziare la discussione.

Il punto a) ci chiede di determinare il numero di soluzioni reali dell'equazione al variare del parametro k. Tale numero dipende da condizioni: dalla non nullità del coefficiente di x^2 e dal segno del discriminante associato.

Se infatti a\ne 0, possono verificarsi tre casi:

\bullet \ \ \ \Delta>0, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte;

\bullet \ \ \ \Delta=0, l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti;

\bullet \ \ \  \Delta<0, l'equazione non ammette soluzioni reali.

Se invece a=0, l'equazione può diventare di grado uno oppure ridursi a un'equazione priva di incognite.

Determiniamo i valori del parametro k per cui a\ne 0 impostando la disuguaglianza

a\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ k(k-1)\ne0

Analizziamola con la legge di annullamento del prodotto, la quale garantisce che il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se entrambi i fattori sono non nulli

k\ne 0 \ \ \ , \ \ \ k\ne 1

Sottostando a tali vincoli, calcoliamo il discriminante con la formula

\\ \Delta=b^2-4ac=[2(k-1)]^2-4\cdot(-4)k(k-1)= \\ \\ =4(k-1)^2+16k(k-1)=

Invece di sviluppare il quadrato di binomio, conviene raccogliere il fattore comune 4(k-1)

=4(k-1)(k-1+4k)=4(k-1)(5k-1)

Ora che disponiamo l'espressione del \Delta, studiamone il segno analizzando la disequazione

\Delta\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ 4(k-1)(5k-1)\ge 0

È sufficiente analizzare il segno di ciascun fattore contenente k

\\ 4(k-1)\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ k\ge 1 \\ \\ 5k-1\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ k\ge \frac{1}{5}

e sfruttare la regola dei segni, mediante la quale possiamo affermare che

-se k<\frac{1}{5} \ \ \vee \ \ k>1 con k\ne 0, il discriminante è positivo, di conseguenza l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte.

- se k=\frac{1}{5}, il discriminante è nullo, dunque l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti;

- se \frac{1}{5}<k<1, il discriminante è negativo, pertanto l'equazione non ammette soluzioni reali.

Abbiamo escluso i casi k=0 e k=1 perché per tali valori, l'equazione non è più di secondo grado.

Se k=0, infatti, l'equazione parametrica si riduce a un'equazione di primo grado

0\cdot (0-1)x^2+2(0-1)x-4=0 \ \ \ \to \ \ \ -2x-4=0

da cui

-2x=4 \ \ \ \to \ \ \ x=-2

pertanto se k è nullo, ricaviamo una sola soluzione.

Vediamo cosa succede se k=1. L'equazione parametrica diventa

1\cdot (1-1)x^2+2(1-1)x-4=0 \ \ \ \to \ \ \ -4=0

Essa è un'equazione senza incognite impossibile e dunque non ammette soluzioni.

Dedichiamoci al secondo punto del problema, vale a dire b). Bisogna determinare il valore di k di modo che la somma delle radici sia uguale a \frac{2}{3}.

Per raggiungere l'obiettivo, è necessario avvalersi delle relazioni che legano le soluzioni di un'equazione di secondo grado con i coefficienti di quest'ultima. Più esplicitamente faremo riferimento all'uguaglianza

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

dove x_1\ \mbox{e} \ x_2 sono le soluzioni dell'equazione. Essa si traduce nell'equazione fratta di primo grado nell'incognita k

\frac{2}{3}=-\frac{2(k-1)}{k(k-1)}

Imponiamo le condizioni di esistenza, richiedendo la non nullità dei denominatori che contengono k

k(k-1)\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ k\ne 0 \ \wedge \ k\ne 1

pertanto le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni sono:

C.E.:\ k\ne 0 \ \wedge \ k\ne 1

Sotto tali vincoli, continuiamo con i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione in forma normale

\frac{2}{3}+\frac{2(k-1)}{k(k-1)}=0

Semplifichiamo k-1

\frac{2}{3}+\frac{2}{k}=0

dopodiché calcoliamo il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore

\frac{2k+6}{3k}=0

Ora che abbiamo espresso l'equazione fratta i forma normale, possiamo cancellare il denominatore e, sottostando alle condizioni di esistenza, scrivere l'equazione equivalente

2k+6=0 \ \ \ \to \ \ \ 2k=-6 \ \ \ \to \ \ \ k=-3

Osserviamo che per tale valore, il discriminante dell'equazione parametrica è positivo, dunque le soluzioni sono reali e distinte e la loro somma è \frac{2}{3} come volevamo.

Occupiamoci del punto c), il quale chiede di esplicitare i possibili valori di k per cui il prodotto delle radici sia pari a -2.

Anche in questo caso interviene una formula che mette in relazione i coefficienti dell'equazione parametrica con il prodotto delle soluzioni: dalla teoria sappiamo infatti che il prodotto delle radici di un'equazione di secondo grado coincide con il rapporto tra il termine noto e il coefficiente di x^2, vale a dire:

x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}

Tale relazione si traduce nella seguente equazione in cui l'incognita è proprio il parametro k

-2=\frac{-4}{k(k-1)}

Chiaramente dobbiamo pretendere che k sia diverso sia da 0 sia da 1, altrimenti il denominatore si annullerebbe!

Trasportiamo tutto al primo membro prestando la massima attenzione ai segni

-2+\frac{4}{k(k-1)}=0

dopodiché calcoliamo il minimo comune multiplo e svolgiamo i calcoli

\\ \frac{-2k(k-1)+4}{k(k-1)}=0 \\ \\ \\ \frac{-2k^2+2k+4}{k(k-1)}=0

Il denominatore ha terminato il suo compito, quindi lo cancelliamo e consideriamo l'equazione di secondo grado nell'incognita k

-2k^2+2k+4=0 \ \ \ \to \ \ \ 2k^2-2k-4=0

che risolviamo con la consueta formula

k_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4-4\cdot 2\cdot(-4) }}{4}=\begin{cases}\frac{2-6}{4}=-1=k_1 \\ \\ \frac{2+6}{4}=2=k_2\end{cases}

In definitiva, se k=-1 oppure se k=2 l'equazione ammette due soluzioni reali (per entrambi i valori il discriminante è positivo) il cui prodotto è -2.

Abbiamo terminato.
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