Studiare le soluzioni di un'equazione parametrica di grado 2

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Studiare le soluzioni di un'equazione parametrica di grado 2 #66397

avt
anali2
Punto
Mi è capitato un problema sulle equazioni parametriche di secondo grado in cui mi si chiede di determinare i valori del parametro affinché vengano soddisfatte alcune condizioni sulle radici. Potete aiutarmi per favore?

Data l'equazione parametrica di secondo grado

k(k-1)x^2+2(k-1)x-4 = 0

(a) calcolare il numero di soluzioni reali al variare del parametro reale k;

(b) determinare il valore di k per il quale la somma delle radici sia (2)/(3);

(c) esplicitare i possibili valori di k per i quali il prodotto delle radici sia pari a -2.

Grazie.
 
 

Studiare le soluzioni di un'equazione parametrica di grado 2 #66398

avt
Galois
Amministratore
Risolveremo il problema affrontando i punti uno alla volta, ma prima di iniziare con la discussione, bisogna effettuare alcune considerazioni di carattere generale.

Osserviamo che l'equazione letterale di secondo grado

k(k-1)x^2+2(k-1)x-4 = 0

è già ridotta in forma normale. Indicati inoltre con a, b e c rispettivamente il coefficiente di x^2, il coefficiente di x e il termine noto possiamo scrivere

a = k(k-1) ; b = 2(k-1) ; c = -4

Il coefficiente di x^2 è letterale, pertanto il grado stesso dell'equazione potrebbe dipendere dal parametro. In particolare se a = 0, il grado diminuirà, mentre se a ne 0, il grado sarà necessariamente pari a 2.

Dopo queste premesse, possiamo iniziare la discussione.

Il punto a) ci chiede di determinare il numero di soluzioni reali dell'equazione al variare del parametro k. Tale numero dipende da condizioni: dalla non nullità del coefficiente di x^2 e dal segno del discriminante associato.

Se infatti a ne 0, possono verificarsi tre casi:

• Δ > 0, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte;

• Δ = 0, l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti;

• Δ < 0, l'equazione non ammette soluzioni reali.

Se invece a = 0, l'equazione può diventare di grado uno oppure ridursi a un'equazione priva di incognite.

Determiniamo i valori del parametro k per cui a ne 0 impostando la disuguaglianza

a ne 0 → k(k-1) ne0

Analizziamola con la legge di annullamento del prodotto, la quale garantisce che il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se entrambi i fattori sono non nulli

k ne 0 , k ne 1

Sottostando a tali vincoli, calcoliamo il discriminante con la formula

Δ = b^2-4ac = [2(k-1)]^2-4·(-4)k(k-1) = 4(k-1)^2+16k(k-1) =

Invece di sviluppare il quadrato di binomio, conviene raccogliere il fattore comune 4(k-1)

= 4(k-1)(k-1+4k) = 4(k-1)(5k-1)

Ora che disponiamo l'espressione del Δ, studiamone il segno analizzando la disequazione

Δ ≥ 0 → 4(k-1)(5k-1) ≥ 0

È sufficiente analizzare il segno di ciascun fattore contenente k

4(k-1) ≥ 0 → k ≥ 1 ; 5k-1 ≥ 0 → k ≥ (1)/(5)

e sfruttare la regola dei segni, mediante la quale possiamo affermare che

-se k < (1)/(5) ∨ k > 1 con k ne 0, il discriminante è positivo, di conseguenza l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte.

- se k = (1)/(5), il discriminante è nullo, dunque l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti;

- se (1)/(5) < k < 1, il discriminante è negativo, pertanto l'equazione non ammette soluzioni reali.

Abbiamo escluso i casi k = 0 e k = 1 perché per tali valori, l'equazione non è più di secondo grado.

Se k = 0, infatti, l'equazione parametrica si riduce a un'equazione di primo grado

0·(0-1)x^2+2(0-1)x-4 = 0 → -2x-4 = 0

da cui

-2x = 4 → x = -2

pertanto se k è nullo, ricaviamo una sola soluzione.

Vediamo cosa succede se k = 1. L'equazione parametrica diventa

1·(1-1)x^2+2(1-1)x-4 = 0 → -4 = 0

Essa è un'equazione senza incognite impossibile e dunque non ammette soluzioni.

Dedichiamoci al secondo punto del problema, vale a dire b). Bisogna determinare il valore di k di modo che la somma delle radici sia uguale a (2)/(3).

Per raggiungere l'obiettivo, è necessario avvalersi delle relazioni che legano le soluzioni di un'equazione di secondo grado con i coefficienti di quest'ultima. Più esplicitamente faremo riferimento all'uguaglianza

x_1+x_2 = -(b)/(a)

dove x_1 e x_2 sono le soluzioni dell'equazione. Essa si traduce nell'equazione fratta di primo grado nell'incognita k

(2)/(3) = -(2(k-1))/(k(k-1))

Imponiamo le condizioni di esistenza, richiedendo la non nullità dei denominatori che contengono k

k(k-1) ne 0 → k ne 0 ∧ k ne 1

pertanto le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni sono:

C.E.: k ne 0 ∧ k ne 1

Sotto tali vincoli, continuiamo con i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione in forma normale

(2)/(3)+(2(k-1))/(k(k-1)) = 0

Semplifichiamo k-1

(2)/(3)+(2)/(k) = 0

dopodiché calcoliamo il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore

(2k+6)/(3k) = 0

Ora che abbiamo espresso l'equazione fratta i forma normale, possiamo cancellare il denominatore e, sottostando alle condizioni di esistenza, scrivere l'equazione equivalente

2k+6 = 0 → 2k = -6 → k = -3

Osserviamo che per tale valore, il discriminante dell'equazione parametrica è positivo, dunque le soluzioni sono reali e distinte e la loro somma è (2)/(3) come volevamo.

Occupiamoci del punto c), il quale chiede di esplicitare i possibili valori di k per cui il prodotto delle radici sia pari a -2.

Anche in questo caso interviene una formula che mette in relazione i coefficienti dell'equazione parametrica con il prodotto delle soluzioni: dalla teoria sappiamo infatti che il prodotto delle radici di un'equazione di secondo grado coincide con il rapporto tra il termine noto e il coefficiente di x^2, vale a dire:

x_1·x_2 = (c)/(a)

Tale relazione si traduce nella seguente equazione in cui l'incognita è proprio il parametro k

-2 = (-4)/(k(k-1))

Chiaramente dobbiamo pretendere che k sia diverso sia da 0 sia da 1, altrimenti il denominatore si annullerebbe!

Trasportiamo tutto al primo membro prestando la massima attenzione ai segni

-2+(4)/(k(k-1)) = 0

dopodiché calcoliamo il minimo comune multiplo e svolgiamo i calcoli

(-2k(k-1)+4)/(k(k-1)) = 0 ; (-2k^2+2k+4)/(k(k-1)) = 0

Il denominatore ha terminato il suo compito, quindi lo cancelliamo e consideriamo l'equazione di secondo grado nell'incognita k

-2k^2+2k+4 = 0 → 2k^2-2k-4 = 0

che risolviamo con la consueta formula

k_(1,2) = (2±√(4-4·2·(-4)))/(4) = (2-6)/(4) = -1 = k_1 ; (2+6)/(4) = 2 = k_2

In definitiva, se k = -1 oppure se k = 2 l'equazione ammette due soluzioni reali (per entrambi i valori il discriminante è positivo) il cui prodotto è -2.

Abbiamo terminato.
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