Studiare le soluzioni di un'equazione parametrica di grado 2

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Studiare le soluzioni di un'equazione parametrica di grado 2 #66397

avt
anali2
Punto
Mi è capitato un problema sulle equazioni parametriche di secondo grado in cui mi si chiede di determinare i valori del parametro affinché vengano soddisfatte alcune condizioni sulle radici. Potete aiutarmi per favore?

Data l'equazione parametrica di secondo grado

k(k-1)x^2+2(k-1)x-4=0

(a) calcolare il numero di soluzioni reali al variare del parametro reale k;

(b) determinare il valore di k per il quale la somma delle radici sia \frac{2}{3};

(c) esplicitare i possibili valori di k per i quali il prodotto delle radici sia pari a -2.

Grazie.
 
 

Studiare le soluzioni di un'equazione parametrica di grado 2 #66398

avt
Galois
Amministratore
Risolveremo il problema affrontando i punti uno alla volta, ma prima di iniziare con la discussione, bisogna effettuare alcune considerazioni di carattere generale.

Osserviamo che l'equazione letterale di secondo grado

k(k-1)x^2+2(k-1)x-4=0

è già ridotta in forma normale. Indicati inoltre con a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, il coefficiente di x e il termine noto possiamo scrivere

a=k(k-1) \ \ \ ; \  \ \ b=2(k-1) \ \ \ ; \  \ \ c=-4

Il coefficiente di x^2 è letterale, pertanto il grado stesso dell'equazione potrebbe dipendere dal parametro. In particolare se a=0, il grado diminuirà, mentre se a\ne 0, il grado sarà necessariamente pari a 2.

Dopo queste premesse, possiamo iniziare la discussione.

Il punto a) ci chiede di determinare il numero di soluzioni reali dell'equazione al variare del parametro k. Tale numero dipende da condizioni: dalla non nullità del coefficiente di x^2 e dal segno del discriminante associato.

Se infatti a\ne 0, possono verificarsi tre casi:

\bullet \ \ \ \Delta>0, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte;

\bullet \ \ \ \Delta=0, l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti;

\bullet \ \ \  \Delta<0, l'equazione non ammette soluzioni reali.

Se invece a=0, l'equazione può diventare di grado uno oppure ridursi a un'equazione priva di incognite.

Determiniamo i valori del parametro k per cui a\ne 0 impostando la disuguaglianza

a\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ k(k-1)\ne0

Analizziamola con la legge di annullamento del prodotto, la quale garantisce che il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se entrambi i fattori sono non nulli

k\ne 0 \ \ \ , \ \ \ k\ne 1

Sottostando a tali vincoli, calcoliamo il discriminante con la formula

\\ \Delta=b^2-4ac=[2(k-1)]^2-4\cdot(-4)k(k-1)= \\ \\ =4(k-1)^2+16k(k-1)=

Invece di sviluppare il quadrato di binomio, conviene raccogliere il fattore comune