Equazione esponenziale in due incognite

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Equazione esponenziale in due incognite #66326

avt
stefano-zaniboni
Punto
Ho riscontrato alcune difficoltà nella risoluzione di un esercizio che mi chiede di risolvere un'equazione esponenziale in due incognite. Non ho proprio capito come approcciarmi, anche perché l'equazione non sembra affatto elementare.

Risolvere la seguente equazione esponenziale in due incognite, rappresentandone l'insieme soluzione nel piano cartesiano e nel caso in cui sia un luogo geometrico notevole, elencarne le caratteristiche principali.

\left(\frac{1}{8}\right)^{3x^2}\left(\frac{1}{4}\right)^{2y^2}=\left(\frac{1}{4}\right)^{9x}\left(\frac{1}{2}\right)^{8y+23}

Grazie!
 
 

Equazione esponenziale in due incognite #66328

avt
BleakHeart
Frattale
Consideriamo l'equazione in due incognite

\left(\frac{1}{8}\right)^{3x^2}\left(\frac{1}{4}\right)^{2y^2}=\left(\frac{1}{4}\right)^{9x}\left(\frac{1}{2}\right)^{8y+23}

Il nostro compito consiste nel rappresentare l'insieme delle soluzioni associato nel piano cartesiano: in altri termini, dovremo rappresentare il luogo geometrico dei punti (x,y) che realizzano l'uguaglianza.

Ciò che caratterizza l'equazione in esame è la presenza di diverse esponenziali che non condividono né la base né l'esponente. Per risolvere elegantemente il problema, riscriviamo i fattori in modo che abbiano la medesima base, basta osservare infatti che le basi sono in realtà potenze di \frac{1}{2}:

\\ \frac{1}{8}=\left(\frac{1}{2}\right)^3 \\ \\ \\ \frac{1}{4}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}

L'equazione diventa quindi

\left[\left(\frac{1}{2}\right)^3\right]^{3x^2}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]^{2y^2}=\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right]^{9x}\left(\frac{1}{2}\right)^{8y+23}

Facciamo intervenire le proprietà delle potenze e più precisamente la proprietà relativa alla potenza di una potenza grazie alla quale ricaviamo

\left(\frac{1}{2}\right)^{9x^2}\left(\frac{1}{2}\right)^{4y^2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{18x}\left(\frac{1}{2}\right)^{8y+23}

Non ci resta che applicare infine la proprietà sul prodotto di potenze con la stessa base e scrivere l'equazione esponenziale in forma normale

\left(\frac{1}{2}\right)^{9x^2+4y^2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{18x+8y+23}

Rammentando che due esponenziali con la stessa base sono uguali se e solo se hanno il medesimo esponente, ricaviamo

9x^2+4y^2=18x+8y+23

ossia

9x^2+4y^2-18x-8y-23=0

Ci siamo ricondotti a una relazione notevole che nel piano cartesiano individua un'ellisse. Per poterne ricavare le caratteristiche geometriche principali, procederemo con il completamento dei quadrati sia rispetto all'incognita x sia rispetto all'incognita y, in questo modo saremo in grado di esprimere l'equazione dell'ellisse in forma normale.

Per completare il quadrato rispetto a x sommiamo e sottraiamo 9, mentre per completare il quadrato rispetto a y sommiamo e sottraiamo 4

\\ 9x^2-18x+9-9+4y^2-8y+4-4-23=0 \\ \\ (3x-3)^2+(2y-2)^2-36=0

Raccogliamo il fattore comune 3 all'interno della prima coppia di parentesi tonde e 2 nella seconda

[3(x-1)]^2+[2(y-1)]^2-36=0

dopodiché applichiamo le proprietà delle potenze

9(x-1)^2+4(y-1)^2=36

Una volta divisi i due membri per 36 otteniamo l'equazione

\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y-1)^2}{9}=1

la quale è espressa nella forma

\frac{(x-x_{C})^2}{a^2}+\frac{(y-y_{C})^2}{b^2}=1

in cui x_{C} \ \mbox{e} \ y_{C} sono rispettivamente l'ascissa e l'ordinata del centro dell'ellisse, mentre a^2 \ \mbox{e} \ b^2 sono il quadrato delle lunghezze dei suoi semiassi.

Nel nostro caso, il centro dell'ellisse ha coordinate

C(x_C, y_C)=(1,1)

mentre dalle relazioni

a^2=4 \ \ \ , \ \ \ b^2=9

ricaviamo le lunghezze dei semiassi:

a=2 \ \ \ , \ \ \ b=3

Nota: le lunghezze dei semiassi sono entrambe quantità positive, per questo motivo le soluzioni negative delle relazioni a^2=4\ \mbox{e} \ b^2=9 sono da scartare.

Con le informazioni in nostro possesso siamo in grado di calcolare le coordinate dei vertici: basta usare le relazioni

\\ V_{1,2}(x_{C}\pm a, y_{C})=(1\pm 2, 1)\\ \\ V_{3,4}(x_{C}, y_{C}\pm b)=(1, 1\pm3)

da cui

\\ V_{1}(-1,1)\ \ \ , \ \ \  V_{2}(3, 1) \\ \\ V_{3}(1, -2)\ \ \ ,\ \ \ V_{4}(1,4)

In conclusione, il luogo geometrico individuato dall'equazione

\left(\frac{1}{8}\right)^{3x^2}\left(\frac{1}{4}\right)^{2y^2}=\left(\frac{1}{4}\right)^{9x}\left(\frac{1}{2}\right)^{8y+23}

coincide con l'ellisse di centro C(1,1) e semiassi a=2 \ \mbox{e} \ b=3 rappresentata nella seguente immagine

Esercizi equazioni in due incognite XII

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os