Equazione goniometrica con formule di prostaferesi

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Equazione goniometrica con formule di prostaferesi #66319

avt
FAQ
Frattale
Mi servirebbe una mano per calcolare le soluzioni di un'equazione goniometrica composta da seni aventi argomenti differenti. Secondo il testo, dovrei usare le formule di prostaferesi, però non capisco quali.

Determinare le soluzioni della seguente equazione goniometrica, avvalendosi delle formule di prostaferesi

\sin(3x)+\sin(7x)=2\sin(5x)

Grazie.
 
 

Equazione goniometrica con formule di prostaferesi #66815

avt
Galois
Amministratore
Il nostro compito prevede di usare le formule di prostaferesi per calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica

\sin(3x)+\sin(7x)=2\sin(5x)

nella quale compaiono seni di angoli differenti.

Prima di procedere, effettuiamo un breve richiamo teorico in cui riportiamo la formula che ci aiuterà a raggiungere il nostro obiettivo.

La relazione che consente di semplificare l'equazione è la formula di prostaferesi per la somma di seni, con cui siamo in grado di esprimere la somma di seni nel doppio prodotto tra seno e coseno di angoli opportuni. Più precisamente:

\sin(a)+\sin(b)=2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right) \ \ \ \mbox{per ogni} \ a, \ b \in\mathbb{R}

Attraverso questa relazione, siamo in grado di esplicitare l'uguaglianza

\\ \sin(3x)+\sin(7x)=2\sin\left(\frac{3x+7x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x-7x}{2}\right)= \\ \\ \\ = 2\sin(5x)\cos(-2x) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

con cui

\sin(3x)+\sin(7x)=2\sin(5x)

si esprime equivalentemente come:

2\sin(5x)\cos(-2x)=2\sin(5x)

A questo punto trasportiamo 2\sin(5x) al primo membro

2\sin(5x)\cos(-2x)-2\sin(5x)=0

e raccogliamo totalmente il fattore comune

2\sin(5x)\left(\cos(-2x)-1\right)=0

Usiamo la legge di annullamento del prodotto che spezza l'equazione nelle seguenti:

\sin(5x)=0 \ \ \ \vee \ \ \ \cos(-2x)-1=0

Le soluzioni della prima si ricavano ricordando che il seno di un angolo è zero se l'angolo è della forma k\pi, al variare di k\in\mathbb{Z}

\sin(5x)=0 \ \ \ \to \ \ \ 5x=k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{k\pi}{5}

Per determinare le soluzioni della seconda, occorre riportarla in forma normale isolando il coseno al primo membro.

\cos(-2x)-1=0 \ \ \ \to \ \ \ \cos(-2x)=1

Ricordando che il coseno di un angolo è uguale a 1 se l'angolo è 2k\pi, scriviamo l'equazione in x

-2x=2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=-k\pi

al variare di k\in\mathbb{Z}.

Grazie alle informazioni ottenute, possiamo concludere che l'equazione

\sin(3x)+\sin(7x)=2\sin(5x)

è soddisfatta dalle seguenti famiglie di soluzioni:

x=\frac{k\pi}{5}\ \ \ , \ \ \ x=-k\pi\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Osservazione: si noti che i valori -k\pi fanno parte della prima famiglia di soluzioni, per cui potremmo semplificare il risultato riportando esclusivamente x=\frac{k\pi}{5}.
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