Equazione in 2 incognite con esponenziale, radice e valore assoluto
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#66022
![]() Iusbe Templare | Ho per le mani un esercizio davvero molto difficile sulle equazioni in due incognite, in cui mi si chiede di rappresentare nel piano cartesiano l'insieme delle soluzioni associato a un'equazione con esponenziale, valore assoluto e radice quadrata. È proprio il valore assoluto che mi crea problemi, non so proprio come sbarazzarmene. Risolvere la seguente equazione in due incognite con esponenziale e valore assoluto rappresentando nel piano cartesiano il luogo geometrico che individua. ![]() Grazie. |
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Galois, CarFaby, ermagnus95, BleakHeart, tommy21 |
#66031
![]() Ifrit Amministratore | Prima di svolgere i passaggi algebrici con cui risolvere l'equazione in due incognite ![]() bisogna innanzitutto imporre le dovute condizioni di esistenza: poiché la radice ha indice pari, richiederemo che il suo radicando sia maggiore o al più uguale a zero Risolviamo la disequazione con valore assoluto, determinando così il vincolo cui deve sottostare l'incognita ![]() Una volta isolato il valore assoluto al primo membro e osservato che al secondo membro vi è una costante positiva, possiamo associare le disequazioni equivalenti ![]() da cui dove Una volta imposte le condizioni di esistenza, possiamo procedere con i passaggi algebrici ![]() Isoliamo l'esponenziale ![]() dopodiché sfruttiamo il principio di uguaglianza tra due esponenziali: due esponenziali con la stessa base sono uguali se e solo se hanno lo stesso esponente. Tale principio ci autorizza quindi a scrivere la relazione ![]() Trattiamola come se fosse un'equazione irrazionale (e in effetti lo è nell'incognita ![]() e impostiamo la condizione di concordanza. Notiamo infatti che il primo membro è certamente positivo o al più nullo, quindi dobbiamo richiedere che lo sia anche secondo membro affinché sussista l'uguaglianza: ![]() Sotto i vincoli dettati da ![]() Osservazione: sotto le condizioni di esistenza e di concordanza i due membri dell'uguaglianza sono concordi, dunque non è necessario imporre alcuna condizione aggiuntiva. Isoliamo il valore assoluto a sinistra ![]() che, in base alla definizione di modulo, diventa ![]() Attenzione: in questo passaggio non abbiamo tenuto conto delle condizioni di esistenza Se ![]() Una volta espanso il quadrato di binomio, otteniamo la relazione ![]() che nel piano cartesiano individua una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ascisse. Per poterla rappresentare, determiniamo il vertice della parabola usando le formule ![]() dove ![]() mentre ![]() Le coordinate del vertice sono quindi ![]() Per aiutarci nella rappresentazione, possiamo determinare alcuni punti per cui essa passa, ad esempio: Una volta disegnato il grafico, è necessario escludere tutti i punti della parabola che non rispettano le condizioni vincoli che abbiamo imposto durante la risoluzione del problema. Se ![]() diventa ![]() da cui ![]() Nel piano cartesiano, l'equazione individua una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ascisse. Indicati con ![]() possiamo calcolare le coordinate del vertice con le formule ![]() Per facilitarci il compito di rappresentare adeguatamente la parabola, possiamo determinare due punti per i quali essa passa, ad esempio: Attenzione! Di tutti i punti della parabola considereremo esclusivamente quelli che rispettano i vincoli imposti durante la risoluzione, vale a dire L'analisi è conclusa e con le informazioni ottenute, possiamo affermare che il luogo geometrico definito dall'equazione in due incognite ![]() è dato dall'unione dei rami delle due parabole, formati dai punti con ordinata maggiore o al più uguale a 1. ![]() Ecco fatto. |
Ringraziano: Iusbe |
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