Equazione in 2 incognite con esponenziale, radice e valore assoluto

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Equazione in 2 incognite con esponenziale, radice e valore assoluto #66022

avt
Iusbe
Templare
Ho per le mani un esercizio davvero molto difficile sulle equazioni in due incognite, in cui mi si chiede di rappresentare nel piano cartesiano l'insieme delle soluzioni associato a un'equazione con esponenziale, valore assoluto e radice quadrata. È proprio il valore assoluto che mi crea problemi, non so proprio come sbarazzarmene.

Risolvere la seguente equazione in due incognite con esponenziale e valore assoluto rappresentando nel piano cartesiano il luogo geometrico che individua.

e^{y}-e^{1+\sqrt{|x-1|-2}}=0

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Galois, CarFaby, ermagnus95, BleakHeart, tommy21
 
 

Equazione in 2 incognite con esponenziale, radice e valore assoluto #66031

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di svolgere i passaggi algebrici con cui risolvere l'equazione in due incognite

e^{y}-e^{1+\sqrt{|x-1|-2}}=0

bisogna innanzitutto imporre le dovute condizioni di esistenza: poiché la radice ha indice pari, richiederemo che il suo radicando sia maggiore o al più uguale a zero

C.E.:\ |x-1|-2\ge 0

Risolviamo la disequazione con valore assoluto, determinando così il vincolo cui deve sottostare l'incognita x

|x-1|-2\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ |x-1|\ge 2

Una volta isolato il valore assoluto al primo membro e osservato che al secondo membro vi è una costante positiva, possiamo associare le disequazioni equivalenti

x-1\le -2 \ \ \ \vee \ \ \ x-1\ge 2

da cui

x\le -1 \ \ \ \vee \ \ \ x\ge 3

dove \vee è il simbolo matematico che individua il connettivo logico "or".

Una volta imposte le condizioni di esistenza, possiamo procedere con i passaggi algebrici

e^{y}-e^{1+\sqrt{|x-1|-2}}=0

Isoliamo l'esponenziale e^{y} al primo membro

e^{y}=e^{1+\sqrt{|x-1|-2}}

dopodiché sfruttiamo il principio di uguaglianza tra due esponenziali: due esponenziali con la stessa base sono uguali se e solo se hanno lo stesso esponente. Tale principio ci autorizza quindi a scrivere la relazione

y=1+\sqrt{|x-1|-2}

Trattiamola come se fosse un'equazione irrazionale (e in effetti lo è nell'incognita x): isoliamo il termine irrazionale al primo membro

\sqrt{|x-1|-2}=y-1

e impostiamo la condizione di concordanza. Notiamo infatti che il primo membro è certamente positivo o al più nullo, quindi dobbiamo richiedere che lo sia anche secondo membro affinché sussista l'uguaglianza:

C.C.:\ y-1\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ y\ge 1

Sotto i vincoli dettati da C.E.\ \mbox{e} \ C.C., possiamo elevare al quadrato a destra e a sinistra semplificando così la radice quadrata

|x-1|-2=(y-1)^2

Osservazione: sotto le condizioni di esistenza e di concordanza i due membri dell'uguaglianza sono concordi, dunque non è necessario imporre alcuna condizione aggiuntiva.

Isoliamo il valore assoluto a sinistra

|x-1|=(y-1)^2+2

che, in base alla definizione di modulo, diventa

\\ x-1=(y-1)^2+2 \ \ \ \mbox{se} \ x\ge 1 \\ \\ 1-x=(y-1)^2+2 \ \ \ \mbox{se} \ x<1

Attenzione: in questo passaggio non abbiamo tenuto conto delle condizioni di esistenza x\le -1 \ \vee \ x\ge 3, lo faremo nel prosieguo della risoluzione. Più precisamente considereremo due casi: il caso x\le -1 e il caso x\ge 3 partendo dal primo.

Se x\le -1, il segno dell'argomento del valore assoluto è negativo, di conseguenza l'equazione diventa

1-x=(y-1)^2+2\ \ \ \to \ \ \  -x=(y-1)^2+1\ \ \ \to \ \ \ x=-(y-1)^2-1

Una volta espanso il quadrato di binomio, otteniamo la relazione

x=-(y^2-2y+1)-1\ \ \ \to \ \ \ x=-y^2+2y-2

che nel piano cartesiano individua una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ascisse.

Per poterla rappresentare, determiniamo il vertice della parabola usando le formule

V\left(-\frac{\Delta}{4a},-\frac{b}{2a}\right)

dove a, \ b \ \mbox{e} \ c sono rispettivamente il coefficiente di y^2, quello di y e il termine noto

a=-1 \ \ \ , \ \ \ b=2 \ \ \ ,  \ \ \ c=-2

mentre

\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot(-1)\cdot(-2)=4-8=-4

Le coordinate del vertice sono quindi

V\left(-\frac{-4}{4\cdot(-1)}, -\frac{2}{2\cdot(-1)}\right)=(-1,1)

Per aiutarci nella rappresentazione, possiamo determinare alcuni punti per cui essa passa, ad esempio:

A(-2,0)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ B(-2,2)

Una volta disegnato il grafico, è necessario escludere tutti i punti della parabola che non rispettano le condizioni

x\le -1\ \ \ \mbox{e} \ \ \ y\ge 1

vincoli che abbiamo imposto durante la risoluzione del problema.

Se x\ge 3, l'argomento del valore assoluto è positivo, pertanto la relazione

|x-1|=(y-1)^2+2

diventa

x-1=(y-1)^2+2

da cui

x=(y-1)^2+3\ \ \ \to \ \ \ x=y^2-2y+4

Nel piano cartesiano, l'equazione individua una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ascisse. Indicati con a_1, \ b_1 \ \mbox{e} \ c_1 rispettivamente il coefficiente di y^2, quello di y e il termine noto, cioè posti:

a_1=1 \ \ \ , \ \ \ b_1=-2 \ \ \ , \ \ \ c_1=4

possiamo calcolare le coordinate del vertice con le formule

V_1\left(-\frac{b_{1}^2-4a_1c_1}{4a_1},-\frac{b_1}{2a_1}\right)=(3,1)

Per facilitarci il compito di rappresentare adeguatamente la parabola, possiamo determinare due punti per i quali essa passa, ad esempio:

A_1(4,0) \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B_{1}(4,2)

Attenzione! Di tutti i punti della parabola considereremo esclusivamente quelli che rispettano i vincoli imposti durante la risoluzione, vale a dire

x\ge 3 \ \ \ \mbox{e} \ \ \  y\ge 1

L'analisi è conclusa e con le informazioni ottenute, possiamo affermare che il luogo geometrico definito dall'equazione in due incognite

e^{y}-e^{1+\sqrt{|x-1|-2}}=0

è dato dall'unione dei rami delle due parabole, formati dai punti con ordinata maggiore o al più uguale a 1.

Esercizi equazioni in due incognite XIV

Ecco fatto.
Ringraziano: Iusbe
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Os