Equazione di secondo grado parametrica con parametro fratto

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Equazione di secondo grado parametrica con parametro fratto #65966

avt
Ciocy
Punto
Dovrei risolvere un'equazione letterale di secondo grado in cui il parametro si manifesta anche al denominatore. Da quello che ho capito, bisogna imporre le condizioni di esistenza, ma non so come fare.

Discutere al variare del parametro reale k la seguente equazione letterale di secondo grado

\left(\frac{x}{k}+1\right)\left(\frac{x}{k}-1\right)=\frac{x-k}{k-1}

Grazie.
 
 

Equazione di secondo grado parametrica con parametro fratto #65975

avt
Galois
Amministratore
Consideriamo l'equazione parametrica di secondo grado

\left(\frac{x}{k}+1\right)\left(\frac{x}{k}-1\right)=\frac{x-k}{k-1}

L'esercizio ci chiede di determinare l'insieme delle soluzioni al variare del parametro k. Osserviamo preliminarmente che l'equazione non è espressa in forma normale e inoltre, il parametro compare anche a denominatore, ecco perché dobbiamo imporre le condizioni di esistenza: dobbiamo richiedere che i denominatori che contengono il parametro siano non nulli.

C.E.:\ k\ne 0 \ \wedge \ k-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \  k\ne 0 \ \wedge \ k\ne 1

dove con \wedge indichiamo il connettivo logico "e".

Se k=0 oppure se k=1, l'equazione perde di significato giacché non è possibile dividere per zero.

Sottostando alle condizioni di esistenza, possiamo continuare la discussione svolgendo tutti i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione nella forma canonica.

Cominciamo dallo sviluppo del prodotto tra la somma e la differenza dei monomi \frac{x}{k}\ \mbox{e} \ 1 esprimendolo come la differenza dei quadrati di questi ultimi

\frac{x^2}{k^2}-1=\frac{x-k}{k-1}

Trasportiamo tutti i termini al primo prestando la massima attenzione ai segni

\frac{x^2}{k^2}-1-\frac{x-k}{k-1}=0

e calcoliamo il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore, il quale ci permette di esprimere l'equazione come:

\frac{(k-1)x^2-k^2(k-1)-k^2(x-k)}{k^2(k-1)}=0

Cancelliamo il denominatore comune e sviluppiamo in seguito i calcoli

\\ (k-1)x^2-k^2(k-1)-k^2(x-k)=0 \\ \\ (k-1)x^2-k^3+k^2-k^2x+k^3=0

Una volta sommati tra loro i monomi simili otteniamo la forma normale dell'equazione, che è:

(k-1)x^2-k^2x+k^2=0

Chiamiamo a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto

a=k-1 \ \ \ ; \ \ \ b=-k^2 \ \ \ ; \ \ \ c=k^2

Osserviamo che il coefficiente direttore - vale a dire a - è letterale e, se esiste qualche valore di k che lo annulla, l'equazione non è più di grado 2.

a=0\ \ \ \to \ \ \ k-1=0 \ \ \ \to \ \ \ k=1

In tal caso, il valore k=1 non è accettabile perché non rispetta la condizione di esistenza k\ne 1, pertanto l'equazione sarà sempre e comunque di grado 2.

Detto ciò, calcoliamo il discriminante associato usando la relazione

\\ \Delta=b^2-4ac=(-k^2)^2-4k^2(k-1)= \\ \\ =k^4-4k^3+4k^2=

Tentiamo di scomporre l'espressione, raccogliendo totalmente k^2

=k^2(k^2-4k+4)=

e osservando che il trinomio tra parentesi tonde è il quadrato del binomio k-2

=k^2(k-2)^2

L'aspetto più interessante del \Delta consiste nel fatto che è un prodotto tra due quadrati e in quanto tale non può essere negativo per alcun valore del parametro k, dunque:

\Delta\ge 0 \ \ \ \mbox{per ogni} \ k

Ciò garantisce che l'equazione parametrica ammette soluzioni reali indipendentemente dal valore assunto da k (a patto che vengano rispettate le condizioni di esistenza!).

Determiniamo i valori di k che annullano il delta

\Delta=0 \ \ \ \to \ \ \ k^2(k-2)^2=0

Risolviamo l'equazione con la legge di annullamento del prodotto: il prodotto al primo membro è uguale a zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero

\\ k^2=0 \ \ \ \to \ \ \ k=0\\ \\ (k-2)^2=0 \ \ \ \to \ \ \ k-2=0 \ \ \ \to \ \ \ k=2

La soluzione k=0 non è accettabile perché non rispetta la condizione k\ne 0, mentre se k=2, otteniamo l'equazione di secondo grado

(2-1)x^2-2^2x+2^2=0 \ \ \ \to \ \ \ x^2-4x+4=0

le cui soluzioni sono reali e coincidenti:

x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2

Se k\ne 0, \ k\ne 1 \ \mbox{e} \ k\ne 2, il discriminante è certamente positivo pertanto l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte e le ricaviamo con la formula

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{k^2\pm\sqrt{k^2(k-2)^2}}{2(k-1)}= \\ \\ \\ =\frac{k^2\pm k(k-2)}{2(k-1)}=\frac{k^2\pm(k^2-2k)}{2(k-1)}=\begin{cases}\frac{k^2+k^2-2k}{2(k-1)}=\frac{2k(k-1)}{2(k-1)}=k \\ \\ \frac{k^2-k^2+2k}{2(k-1)}=\frac{2k}{2(k-1)}=\frac{k}{k-1}\end{cases}

Osservazione importante: a rigore, nel momento in cui estraiamo la radice quadrata del discriminante dovrebbe appare il modulo, infatti:

\sqrt{\Delta}=\sqrt{k^2(k-2)^2}=\sqrt{(k(k-2))^2}=|k(k-2)|

D'altro canto, la presenza del simbolo \pm permette però di eliminare il valore assoluto perché include sia il caso in cui l'argomento del modulo risulti positivo o nullo, sia il caso in cui l'argomento risulti negativo.

È giunto il momento di trarre le dovute conclusioni:

- se k=0 \ \mbox{oppure} \ k=1, l'equazione perde di significato;

- se k=2, l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti x_1=x_2=2;

- se k\ne 0, \ k\ne 1\ \mbox{e} \ k\ne 2, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte

x_1=k \ \ \ ; \ \ \ x_2=\frac{k}{k-1}

Ecco fatto.
Ringraziano: CarFaby, Iusbe
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