Equazione lineare in seno e coseno con metodo del passaggio al sistema

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione lineare in seno e coseno con metodo del passaggio al sistema #65822

avt
FAQ
Punto
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione lineare in seno e coseno utilizzando il metodo del sistema, combinato con il metodo grafico. Il mio problema risiede nella parte algebrica, perché l'equazione in questione è a coefficienti irrazionali.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione lineare in seno e coseno utilizzando il metodo del passaggio a sistema

\cos(x)+(1+\sqrt{2})\sin(x)-1=0

Grazie.
Ringraziano: Omega, BleakHeart, Iusbe, Disordinato
 
 

Equazione lineare in seno e coseno con metodo del passaggio al sistema #65828

avt
Ifrit
Ambasciatore
Consideriamo l'equazione lineare in seno e coseno

\cos(x)+(1+\sqrt{2})\sin(x)-1=0

e proponiamoci come obiettivo quello di ricavare le soluzioni utilizzando il metodo del passaggio al sistema.

Esso prevede di considerare due incognite ausiliarie X\ \mbox{e} \ Y da attribuire a coseno e seno rispettivamente

X=\cos(x) \ \ \ , \ \ \ Y=\sin(x)

cosicché l'equazione si possa esprimere nella forma

X+(1+\sqrt{2})Y-1=0

L'idea è quella di ricondurre l'equazione originaria a un sistema di equazioni nelle incognite ausiliarie, ma per farlo abbiamo bisogno di un'ulteriore condizione che scaturisce dalla relazione fondamentale della trigonometria

\cos^2(x)+\sin^2(x)=1 \ \ \ \mbox{per ogni}\ x\in\mathbb{R}

che si traduce in

X^2+Y^2=1

Adesso abbiamo tutte le informazioni necessarie a trascrivere il sistema risolvente

\begin{cases}X+(1+\sqrt{2})Y-1=0\\ \\ X^2+Y^2=1\end{cases}

Dalla prima equazione esprimiamo X in termini di Y, isolando la prima incognita a sinistra

\begin{cases}X=1-(1+\sqrt{2})Y\\ \\ X^2+Y^2=1\end{cases}

dopodiché sostituiamo l'espressione ottenuta al posto di X nella seconda equazione

\begin{cases}X=1-(1+\sqrt{2})Y\\ \\ (1-(1+\sqrt{2})Y)^2+Y^2=1\end{cases}

Sviluppiamo il quadrato di binomio

\\ (1-(1+\sqrt{2})Y)^2=1^2-2\cdot 1\cdot (1+\sqrt{2})Y+(1+\sqrt{2})^2 Y^2=\\ \\ =(3+2\sqrt{2})Y^2-2(1+\sqrt{2})Y+1

e una volta sommati i termini simili, la seconda equazione del sistema diventa

2(2+\sqrt{2})Y^2-2(1+\sqrt{2})Y=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione spuria che possiamo risolvere raccogliendo a fattore comune 2Y

2Y[(2+\sqrt{2})Y-(1+\sqrt{2})]=0

e sfruttando a dovere la legge di annullamento del prodotto, mediante la quale otteniamo le relazioni

\\ 2Y=0 \\ \\ (2+\sqrt{2})Y-(1+\sqrt{2})=0

Esse sono entrambi equazioni di primo grado nell'incognita Y e che possiamo risolvere isolando quest'ultima al primo membro

\\ 2Y=0 \ \ \ \to \ \ \ Y=0 \\ \\ (2+\sqrt{2})Y-(1+\sqrt{2})=0 \ \ \ \to \ \ \ Y=\frac{1+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}

È fondamentale razionalizzare il denominatore dell'ultima espressione moltiplicando e dividendo per 2-\sqrt{2}

\\ \frac{1+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{(1+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}= \\ \\ \\ =\frac{2-\sqrt{2}+2\sqrt{2}-2}{4-2}=\frac{\sqrt{2}}{2}

Il sistema diventa quindi

\begin{cases}X=1-(1+\sqrt{2})Y\\ \\ Y=0 \ \ \ \vee \ \ \ Y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}

Sostituiamo i valori di Y nella prima equazione così da ricavare le X associate

\begin{cases}X=1 \\ \\ Y=0\end{cases} \ \ \ , \ \ \ \begin{cases}X=1-(1+\sqrt{2})\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ Y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}

Nota: semplifichiamo a parte l'espressione

\\ 1-(1+\sqrt{2})\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2-(1+\sqrt{2})\sqrt{2}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{2-(\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2)}{2}=\frac{2-\sqrt{2}+2}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Ora siamo autorizzati a scrivere il secondo sistema nella forma equivalente

\begin{cases}X=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \\ Y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}

Nel piano cartesiano OXY

(X,Y)=\left(1, 0\right) \ \ \ , \ \ \ (X,Y)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)

rappresentano i punti di intersezione tra la retta di equazione

X+(1+\sqrt{2})Y-1=0

e la circonferenza goniometrica individuata dall'equazione

X^2+Y^2=1

Esercizi equazioni lineari in seno e coseno 15

Analizziamo separatamente i due sistemi ripristinando seno e coseno: il primo

\begin{cases}X=1\\ \\ Y=0\end{cases}

si traduce nel seguente sistema

\begin{cases}\cos(x)=1 \ \ \ \to \ \ \ x=2k\pi\\ \\ \sin(x)=0\ \ \ \to \ \ \ x=2k\pi \ \ \vee \ \ x=(2k+1)\pi\end{cases}

Le soluzioni comuni alle due equazioni sono

x=2k\pi

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

Il sistema

\begin{cases}X=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \\ Y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}

si traduce in

\begin{cases}\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ \ \ \to \ \ \ x=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi \ \ \vee \ \ x=\dfrac{5\pi}{4}+2k\pi\\ \\ \sin(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ \ \ \to \ \ \ x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \vee \ \ x=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi\end{cases}

Le soluzioni comuni sono questa volta

x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

In conclusione l'equazione lineare in seno e coseno

\cos(x)+(1+\sqrt{2})\sin(x)-1=0

è soddisfatta dai valori

x=2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{3}{4}\pi +2k\pi

al variare di k\in\mathbb{Z}.

Ecco fatto!
Ringraziano: BleakHeart, Disordinato
  • Pagina:
  • 1
Os