Discutere un'equazione letterale di secondo grado con un parametro

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#65687
avt
antonio.stuart
Punto

Stavo svolgendo alcuni esercizi sulle equazioni di secondo grado parametriche, quando a un certo punto me n'è capitato uno in cui il coefficiente di x^2 è letterale. Ho imbastito la discussione, senza però ottenere i risultati richiesti dal libro.

Discutere l'equazione letterale di secondo grado

kx^2−(k+1)x+1 = 0

al variare del parametro reale k e, in caso sia possibile, esplicitare le soluzioni.

#65714
avt
Galois
Amministratore

Prima di discutere l'equazione letterale di secondo grado

kx^2−(k+1)x+1 = 0

bisogna effettuare alcune considerazioni. L'equazione è chiaramente in forma normale, ossia nella forma

ax^2+bx+c = 0

dove a, b e c sono il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto che nel caso considerato valgono

a = k ; b = −(k+1) ; c = 1

È essenziale constatare che il coefficiente di x^2 è letterale - dipende dal parametro k - e nel caso in cui sia nullo, l'equazione non è più di secondo grado. Ecco perché è necessario fare una distinzione iniziale e controllare cosa succede se il coefficiente a è pari a zero.

Se a = 0, ossia se k = 0, l'equazione diventa

0·x^2−(0+1)x+1 = 0 → −x+1 = 0

Degenera in un'equazione di primo grado che risolviamo isolando l'incognita al primo membro

−x = −1 → x = 1

Benissimo, ora possiamo occuparci del caso in cui a ne 0.

Se il coefficiente di x^2 è non nullo

a ne 0 → k ne 0

ci troviamo di fronte a un'equazione di secondo grado completa la cui discussione richiede il discriminante: è il suo segno che ci permetterà di comprendere se l'equazione ammette soluzioni reali oppure no.

Calcoliamo quindi il discriminante avvalendoci della formula

Δ = b^2−4ac = (−(k+1))^2−4·k·1 =

Sviluppiamo il quadrato di binomio notando che il segno meno sparisce perché l'esponente è pari

= k^2+2k+1−4k = k^2−2k+1 = (k−1)^2

Il delta associato è positivo o al più nullo per ogni k ne0 perché è a conti fatti un quadrato e in particolare esso è nullo se e solo se la base k−1 è zero.

Δ = 0 → (k−1)^2 = 0 → k−1 = 0 → k = 1

In tal caso l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti

x_1 = x_2 = −(b)/(2a) = −(−(k+1))/(2k) = (k+1)/(2k) =

da cui rimpiazzando 1 al posto di k

= (1+1)/(2·1) = (2)/(2) = 1

Se k ne 0 e k ne 1, il discriminante è certamente positivo per cui l'equazione ammette due soluzioni distinte che ricaviamo con la formula

x_(1,2) = (−b±√(Δ))/(2a) = (−(−(k+1))±√((k−1)^2))/(2k) = (k+1±|k−1|)/(2k) = (k+1±(k−1))/(2k) = (k+1+k−1)/(2k) = (2k)/(2k) = 1 ; (k+1−k+1)/(2k) = (2)/(2k) = (1)/(k)

Osservazione importante: nel momento in cui abbiamo estratto la radice quadrata di (k−1)^2 abbiamo considerato il valore assoluto della base. La presenza del simbolo ± ci permette però di eliminare il modulo perché include automaticamente il caso in cui k−1 è positivo e quello in cui k−1 è negativo.

L'analisi è completa, l'ultima cosa da fare è riportare per bene le conclusioni:

- se k = 0 ricaviamo un'equazione di primo grado con soluzione x = 1;

- se k = 1, l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti x_1 = x_2 = 1;

- se k ne 0 ∧ k ne 1, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte

x_1 = 1 ; x_2 = (1)/(k)

Ecco fatto.

Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, Iusbe
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