Discutere un'equazione letterale di secondo grado con un parametro

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Discutere un'equazione letterale di secondo grado con un parametro #65687

avt
antonio.stuart
Punto
Stavo svolgendo alcuni esercizi sulle equazioni di secondo grado parametriche, quando a un certo punto me n'è capitato uno in cui il coefficiente di x^2 è letterale. Ho imbastito la discussione, senza però ottenere i risultati richiesti dal libro.

Discutere l'equazione letterale di secondo grado

kx^2-(k+1)x+1=0

al variare del parametro reale k e, in caso sia possibile, esplicitare le soluzioni.
 
 

Discutere un'equazione letterale di secondo grado con un parametro #65714

avt
Galois
Amministratore
Prima di discutere l'equazione letterale di secondo grado

kx^2-(k+1)x+1=0

bisogna effettuare alcune considerazioni. L'equazione è chiaramente in forma normale, ossia nella forma

ax^2+bx+c=0

dove a, \ b \ \mbox{e} \ c sono il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto che nel caso considerato valgono

a=k \ \ \ ; \ \ \ b=-(k+1) \ \ \ ; \ \ \ c=1

È essenziale constatare che il coefficiente di x^2 è letterale - dipende dal parametro k - e nel caso in cui sia nullo, l'equazione non è più di secondo grado. Ecco perché è necessario fare una distinzione iniziale e controllare cosa succede se il coefficiente a è pari a zero.

Se a=0, ossia se k=0, l'equazione diventa

0\cdot x^2-(0+1)x+1=0 \ \ \ \to \ \ \ -x+1=0

Degenera in un'equazione di primo grado che risolviamo isolando l'incognita al primo membro

-x=-1 \ \ \ \to \ \ \ x=1

Benissimo, ora possiamo occuparci del caso in cui a\ne 0.

Se il coefficiente di x^2 è non nullo

a\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ k\ne 0

ci troviamo di fronte a un'equazione di secondo grado completa la cui discussione richiede il discriminante: è il suo segno che ci permetterà di comprendere se l'equazione ammette soluzioni reali oppure no.

Calcoliamo quindi il discriminante avvalendoci della formula

\Delta=b^2-4ac=(-(k+1))^2-4\cdot k\cdot 1=

Sviluppiamo il quadrato di binomio notando che il segno meno sparisce perché l'esponente è pari

=k^2+2k+1-4k=k^2-2k+1=(k-1)^2

Il delta associato è positivo o al più nullo per ogni k\ne0 perché è a conti fatti un quadrato e in particolare esso è nullo se e solo se la base k-1 è zero.



\Delta=0 \ \ \ \to \ \ \ (k-1)^2=0 \ \ \ \to \ \ \ k-1=0 \ \ \ \to \ \ \ k=1

In tal caso l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti

\\ x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=-\frac{-(k+1)}{2k}=\frac{k+1}{2k}=

da cui rimpiazzando 1 al posto di k

=\frac{1+1}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1

Se k\ne 0\ \mbox{e}\ k\ne 1, il discriminante è certamente positivo per cui l'equazione ammette due soluzioni distinte che ricaviamo con la formula

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-(k+1))\pm\sqrt{(k-1)^2}}{2k}= \\ \\ \\ =\frac{k+1\pm|k-1|}{2k}=\frac{k+1\pm (k-1)}{2k}=\begin{cases}\frac{k+1+k-1}{2k}=\frac{2k}{2k}=1 \\ \\ \frac{k+1-k+1}{2k}=\frac{2}{2k}=\frac{1}{k}\end{cases}

Osservazione importante: nel momento in cui abbiamo estratto la radice quadrata di (k-1)^2 abbiamo considerato il valore assoluto della base. La presenza del simbolo \pm ci permette però di eliminare il modulo perché include automaticamente il caso in cui k-1 è positivo e quello in cui k-1 è negativo.

L'analisi è completa, l'ultima cosa da fare è riportare per bene le conclusioni:

- se k=0 ricaviamo un'equazione di primo grado con soluzione x=1;

- se k=1, l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti x_1=x_2=1;

- se k\ne 0 \ \wedge \ k\ne 1, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte

x_1=1 \ \ \ ; \ \ \ x_2=\frac{1}{k}

Ecco fatto.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, Iusbe
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Os