Equazione letterale di secondo grado con parametro e radicali

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Equazione letterale di secondo grado con parametro e radicali #65628

avt
Monimela
Punto
Avrei bisogno del vostro aiuto per discutere un'equazione di secondo grado parametrica a coefficienti irrazionali. Ho tentato di risolvere l'esercizio, ma la presenza dei radicali mi mandano nel pallone.

Esplicitare le eventuali soluzioni associate all'equazione di secondo grado letterale

x^2-2\sqrt{3}x+3+k^2=0

al variare del parametro reale k.

Grazie.
 
 

Equazione letterale di secondo grado con parametro e radicali #65630

avt
Galois
Coamministratore
Consideriamo l'equazione letterale di secondo grado

x^2-2\sqrt{3}x+3+k^2=0

L'esercizio chiede di discuterla al variare del parametro reale k, ossia dobbiamo determinare i valori di k per i quali l'equazione ammette soluzioni e, nel caso sia possibile, esprimerle in termini del parametro.

Osserviamo preliminarmente che l'equazione è già espressa in forma normale e i suoi coefficienti sono

a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=-2\sqrt{3} \ \ \ ; \ \ \ c=3+k^2

Evidenziamo inoltre che il coefficiente di x^2 non dipende dal parametro, pertanto il grado dell'equazione è sempre e comunque 2.

Per continuare la discussione, abbiamo bisogno del discriminante (o Delta) grazie al quale possiamo distinguere i casi in cui l'equazione ammette soluzioni reali oppure no.

Calcoliamo quindi il Delta usando la formula:

\\ \Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{3})^2-4\cdot 1\cdot(3+k^2)=4\cdot 3 -4(3+k^2)= \\ \\ =12-12-4k^2=-4k^2

In base al suo segno, l'equazione di secondo grado ammette zero, due soluzioni coincidenti oppure due soluzioni distinte. Più precisamente, l'equazione ammette:

- due soluzioni reali e distinte se \Delta>0;

- due soluzioni reali e coincidenti se \Delta=0;

- nessuna soluzione reale se \Delta<0.

Nel caso in esame, il discriminante è negativo o al più nullo, questo perché k^2 è un potenza con esponente pari e in quanto tale è non negativa. Moltiplicandola per un numero negativo, quale è -4, ricaviamo una quantità non positiva (regola dei segni docet!).

Possiamo dunque affermare che:

- se k=0 allora il discriminante è nullo e in tal caso l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti, ottenibili con la formula:

x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}

- se k\ne 0, il discriminante è negativo, dunque siamo autorizzati a concludere che l'equazione è impossibile in quanto non ammette soluzioni reali.

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Iusbe
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Os