Equazione letterale di secondo grado con parametro e radicali

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Equazione letterale di secondo grado con parametro e radicali #65628

Monimela Punto	Avrei bisogno del vostro aiuto per discutere un'equazione di secondo grado parametrica a coefficienti irrazionali. Ho tentato di risolvere l'esercizio, ma la presenza dei radicali mi mandano nel pallone. Esplicitare le eventuali soluzioni associate all'equazione di secondo grado letterale $x^2-2\sqrt{3}x+3+k^2=0$ al variare del parametro reale . Grazie.

Equazione letterale di secondo grado con parametro e radicali #65630

Galois

Amministratore

Consideriamo l'equazione letterale di secondo grado

$x^2-2\sqrt{3}x+3+k^2=0$

L'esercizio chiede di discuterla al variare del parametro reale

, ossia dobbiamo determinare i valori di

per i quali l'equazione ammette soluzioni e, nel caso sia possibile, esprimerle in termini del parametro.

Osserviamo preliminarmente che l'equazione è già espressa in forma normale e i suoi coefficienti sono

$a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=-2\sqrt{3} \ \ \ ; \ \ \ c=3+k^2$

Evidenziamo inoltre che il coefficiente di

non dipende dal parametro, pertanto il grado dell'equazione è sempre e comunque 2.

Per continuare la discussione, abbiamo bisogno del discriminante (o Delta) grazie al quale possiamo distinguere i casi in cui l'equazione ammette soluzioni reali oppure no.

Calcoliamo quindi il Delta usando la formula:

$\\ \Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{3})^2-4\cdot 1\cdot(3+k^2)=4\cdot 3 -4(3+k^2)= \\ \\ =12-12-4k^2=-4k^2$

In base al suo segno, l'equazione di secondo grado ammette zero, due soluzioni coincidenti oppure due soluzioni distinte. Più precisamente, l'equazione ammette:

- due soluzioni reali e distinte se $\Delta>0$ ;

- due soluzioni reali e coincidenti se $\Delta=0$ ;

- nessuna soluzione reale se $\Delta<0$ .

Nel caso in esame, il discriminante è negativo o al più nullo, questo perché

è un potenza con esponente pari e in quanto tale è non negativa. Moltiplicandola per un numero negativo, quale è

, ricaviamo una quantità non positiva (regola dei segni docet!).

Possiamo dunque affermare che:

- se

allora il discriminante è nullo e in tal caso l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti, ottenibili con la formula:

$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

- se $k\ne 0$ , il discriminante è negativo, dunque siamo autorizzati a concludere che l'equazione è impossibile in quanto non ammette soluzioni reali.

Ecco fatto!

Ringraziano: Omega, Iusbe

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