Discutere un'equazione parametrica di secondo grado

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Discutere un'equazione parametrica di secondo grado #65525

avt
Naike
Punto
Mi è capitato un esercizio sulle equazioni letterali di secondo grado in cui compare un coefficiente irrazionale. So che dovrei fare la discussione e determinare i valori del parametro per cui l'equazione ammette soluzioni, ma la presenza del radicale complica notevolmente le cose.

Discutere la seguente equazione parametrica di secondo grado, esplicitando l'insieme soluzione al variare del parametro k

x^2-\sqrt{k}x-2k=0

Grazie.
 
 

Discutere un'equazione parametrica di secondo grado #65527

avt
Iusbe
Templare
L'esercizio chiede di discutere l'equazione letterale di secondo grado

x^2-\sqrt{k}x-2k=0

nella quale si manifesta un radicale dipendente dal parametro.

Osserviamo preliminarmente che:

- il coefficiente di x^2 non dipende dal parametro, dunque l'equazione non potrà mai scendere di grado;

- l'equazione è già ridotta in forma normale e i suoi coefficienti sono:

a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=-\sqrt{k} \ \ \ ; \ \ \ c=-2k

Ciò che caratterizza l'esercizio è la presenza di k all'interno della radice quadrata e affinché l'equazione non perda di significato dobbiamo pretendere che k sia maggiore o al più uguale a zero

C.E.:\ k\ge 0

Se k<0, l'equazione non ha senso perché il coefficiente b=-\sqrt{k} non sarebbe un numero reale.

Per k\ge 0, possiamo continuare con la discussione. Abbiamo bisogno del discriminante associato all'equazione che possiamo ricavare con la formula

\Delta=b^2-4ac=(-\sqrt{k})^2-4\cdot 1 \cdot (-2k)=k+8k=9k

Proprio perché k\ge 0, il delta è positivo o al più nullo, in particolare:

- se k=0 allora \Delta=9\cdot 0=0 di conseguenza l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e coincidenti

x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{k}}{2}=0

La nullità delle due soluzioni discende dal fatto che k=0.

- Se k>0, il delta è positivo pertanto l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte che otteniamo avvalendoci della formula

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-\sqrt{k})\pm\sqrt{9k}}{2}=

Sfruttiamo la proprietà relativa alla radice di un prodotto, mediante la quale possiamo esprimere \sqrt{9k} come il prodotto \sqrt{9}\sqrt{k}=3\sqrt{k} e riscrivere la precedente espressione come segue:

=\frac{\sqrt{k}\pm3\sqrt{k}}{2}=\begin{cases}\frac{\sqrt{k}-3\sqrt{k}}{2}=\frac{-2\sqrt{k}}{2}=-\sqrt{k}=x_1 \\ \\ \frac{\sqrt{k}+3\sqrt{k}}{2}=\frac{4\sqrt{k}}{2}=2\sqrt{k}=x_2\end{cases}

Nota: nell'ultimo passaggio abbiamo eseguito l'addizione tra i radicali (è una somma algebrica).

La discussione è terminata, dobbiamo solamente esprimere per bene le conclusioni:

- se k<0, l'equazione non ha senso;

- se k=0, l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti x_1=x_2=0;

- se k>0, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte

x_1=-\sqrt{k} \ \ \ ; \ \ \ x_2=2\sqrt{k}

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, tommy21
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Os