Scomporre un trinomio con coefficienti radicali

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Scomporre un trinomio con coefficienti radicali #65515

avt
FAQ
Punto
Ho bisogno di una mano per comprendere se è possibile scomporre un polinomio di secondo grado e a coefficienti irrazionali. Mi pare di capire che si debba utilizzare il metodo dell'equazione di secondo grado, però non ho capito come si fa.

Stabilire se il seguente polinomio di secondo grado è riducibile nell'insieme dei numeri reali e, in caso affermativo, esplicitare la fattorizzazione.

\sqrt{6}x^2-5x+\sqrt{6}

Grazie.
 
 

Scomporre un trinomio con coefficienti radicali #65673

avt
Ifrit
Amministratore
Per stabilire se il polinomio

\sqrt{6}x^2-5x+\sqrt{6}

sia scomponibile in \mathbb{R}, ossia se è possibile esprimerlo come prodotto di polinomi di grado inferiore, possiamo usare il metodo dell'equazione associata.

Esso consiste nel considerare l'equazione di secondo grado associata al polinomio e nel calcolarne il discriminante (\Delta).

Se \Delta\ge 0, l'equazione ammette due soluzioni reali x_1\ \mbox{e} \ x_2 (coincidenti solo nel caso in cui \Delta=0) e il polinomio si scompone secondo la regola:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Se invece \Delta<0, l'equazione è impossibile e il polinomio non si scompone nell'insieme dei numeri reali.

Dopo la parentesi di teoria, consideriamo il polinomio

\sqrt{6}x^2-5x+\sqrt{6}

e associamogli l'equazione di secondo grado:

\sqrt{6}x^2-5x+\sqrt{6}=0

Detti a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto, calcoliamo il \Delta con la relazione:

\Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot b=(-5)^2-4\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}=25-4\cdot 6=1

Poiché il \Delta è positivo, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte x_{1}\ \mbox{e} \ x_2, ottenibili con la formula:

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\sqrt{6}}=\frac{5\pm 1}{2\sqrt{6}}= \\ \\ \\ =\begin{cases}\frac{5-1}{2\sqrt{6}}=\frac{4}{2\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=x_1\\ \\ \frac{5+1}{2\sqrt{6}}=\frac{6}{2\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{6}}=x_2\end{cases}

Le soluzioni sono radicali fratti di cui possiamo razionalizzare i denominatori.

Per razionalizzare il denominatore di x_1, moltiplichiamo e dividiamo per \sqrt{6}, dopodiché svolgiamo i calcoli effettuando le dovute semplificazioni:

\\ x_{1}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}= \\ \\ \\ =\frac{\sqrt{6}}{3}

Procediamo allo stesso modo per x_2:

\\ x_{2}=\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}}{6}= \\ \\ \\ =\frac{\sqrt{6}}{2}

Note le soluzioni, possiamo scomporre il polinomio dato come segue:

\sqrt{6}x^2-5x+\sqrt{6}=\sqrt{6}\left(x-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\left(x-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)

Abbiamo finito.
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Os