Polinomio da scomporre con l'equazione di secondo grado associata

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Polinomio da scomporre con l'equazione di secondo grado associata #65389

avt
FAQ
Punto
Non sono in grado di capire se è un polinomio di secondo grado a coefficienti irrazionali è scomponibile nell'insieme dei numeri reali. Da quello che ho capito, dovrei usare la teoria delle equazioni di secondo grado per rispondere al quesito.

Stabilire se il seguente polinomio è riducibile nell'insieme dei numeri reali e, in caso affermativo, esplicitare la sua scomposizione.

\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{6}x+\frac{3}{4}

Grazie mille.
 
 

Polinomio da scomporre con l'equazione di secondo grado associata #65442

avt
Ifrit
Ambasciatore
In generale, esiste una strategia che consente di stabilire se un polinomio di secondo grado sia riducibile in \mathbb{R}: richiede però la conoscenza della teoria relativa alle equazioni di secondo grado.

La strategia, detta metodo dell'equazione associata, prevede di considerare l'equazione di secondo grado associata al polinomio, e di calcolare il discriminante (\Delta). Si aprono quindi tre diversi scenari:

- se \Delta è positivo, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte, x_{1}\ \mbox{e} \ x_2, e il polinomio si scompone mediante la formula

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

- se \Delta è uguale a zero, l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti, x_1=x_2 e il polinomio è effettivamente il quadrato di un binomio, infatti:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2

- se \Delta è negativo, l'equazione è impossibile e il polinomio irriducibile.

Dopo il breve preambolo teorico, occupiamoci dell'esercizio. Consideriamo il polinomio

\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{6}x+\frac{3}{4}

e associamogli l'equazione di secondo grado

\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{6}x+\frac{3}{4}=0

Per semplificare i passaggi algebrici che seguiranno, conviene esprimere a denominatore comune i termini al primo membro:

\frac{2x^2-2\sqrt{6}x+3}{4}=0

e moltiplichiamo a destra e a sinistra per 4

2x^2-2\sqrt{6}x+3=0

A questo punto determiniamo le soluzioni dell'equazione! Indichiamo con a, \ b\ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto,

a=2\ \ \ , \ \ \ b=-2\sqrt{6} \ \ \ , \ \ \ c=3

e calcoliamo il \Delta con la formula:

\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{6})^2-4\cdot 2\cdot 3=

che grazie alle proprietà delle potenze, diventa

=(-2)^2\cdot (\sqrt{6})^2-24=4\cdot 6-24=24-24=0

Poiché il discriminante è uguale a zero, l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti,

x_{1}=x_2=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2\sqrt{6}}{2\cdot 2}=\frac{2\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{6}}{2}

e la scomposizione del polinomio è:

\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{6}x+\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\left(x-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2

Abbiamo finito.
Ringraziano: Iusbe
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Os