Equazione trigonometrica con formule di Werner

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Equazione trigonometrica con formule di Werner #65290

avt
FAQ
Punto
Mi serve il vostro aiuto per risolvere un'equazione goniometrica in cui è richiesto l'uso delle formule trigonometriche. Il testo è vago: l'unica cosa che noto è che i membri dell'equazione sono prodotti di seni. Devo usare le formule di Werner?

Calcolare le soluzioni della seguente equazione goniometrica, usando le opportune formule goniometriche

\sin(4x)\sin(6x)=\sin(3x)\sin(5x)

Grazie.
Ringraziano: Disordinato
 
 

Equazione trigonometrica con formule di Werner #65831

avt
Ifrit
Amministratore
Ci viene chiesto di calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica

\sin(4x)\sin(6x)=\sin(3x)\sin(5x)

avvalendoci di opportune formule goniometriche. Poiché i membri dell'equazione sono formati da prodotti di seni con angoli differenti, possono tornarci utili le formule di Werner, in particolare la seguente:

\sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right] \ \ \ \mbox{per ogni} \ a, \ b \in\mathbb{R}

Grazie a questa relazione, siamo in grado di ricavare le seguenti identità:

(a) \ \ \ \sin(4x)\sin(6x)=\frac{1}{2}\left[\cos(4x-6x)-\cos(4x+6x)\right]= \\ \\ \\ =\frac{1}{2}[\cos(-2x)-\cos(10 x)]

valida per ogni x\in\mathbb{R} e:

\\ (b) \ \ \ \sin(3x)\sin(5x)=\frac{1}{2}\left[\cos(3x-5x)-\cos(3x+5x)\right]= \\ \\ \\ =\frac{1}{2}\left[\cos(-2x)-\cos(8x)\right]

valida per ogni x\in\mathbb{R}. È proprio in virtù di queste uguaglianze che l'equazione

\sin(4x)\sin(6x)=\sin(3x)\sin(5x)

si tramuta in

\frac{1}{2}[\cos(-2x)-\cos(10x)]=\frac{1}{2}[\cos(-2x)-\cos(8x)]

Moltiplichiamo i due membri per 2, così da sbarazzarci del fattore \frac{1}{2}

\cos(-2x)-\cos(10x)=\cos(-2x)-\cos(8x)

e, cancellando \cos(-2x) a destra e a sinistra, ricaviamo l'equazione equivalente

-\cos(10x)=-\cos(8x) \ \ \ \to \ \ \ \cos(10x)=\cos(8x)

Per calcolare le sue soluzioni, basta ricorrere alla seguente regola:

\\ \cos(f(x))=\cos(g(x))\iff f(x)=g(x)+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ f(x)=-g(x)+2k\pi \\ \\ \mbox{con}\ k\in\mathbb{Z}

e scrivere le equazioni di primo grado nell'incognita x:

10x=8x+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ 10x=-8x+2k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Risolviamole singolarmente isolando x al primo membro, ottenendo:

\\ 10x=8x+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ 2x=2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=k\pi \\ \\ 10x=-8x+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ 18x=2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{k\pi}{9}

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

Possiamo concludere che l'equazione

\sin(4x)\sin(6x)=\sin(3x)\sin(5x)

è soddisfatta dalle seguenti famiglie

x=k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{k\pi}{9}

Osservazione: il risultato dell'equazione può essere ulteriormente semplificato se si nota che tutti valori della prima famiglia (x=k\pi) fanno parte della seconda \left(\frac{k\pi}{9}\right).
Ringraziano: Disordinato
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Os