Esercizio: equazione letterale di secondo grado fratta con due parametri

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Esercizio: equazione letterale di secondo grado fratta con due parametri #65196

avt
ermagnus95
Cerchio
Avrei bisogno di una mano per risolvere un esercizio sulle equazioni letterali fratte di secondo grado, caratterizzato dalla presenza di ben due parametri reali.

Discutere la seguente equazione fratta di secondo grado al variare dei due parametri reali n \ \mbox{e} \ m

\frac{nx^2-nx+2m x}{m x+nx+n+m}=0

Grazie.
 
 

Esercizio: equazione letterale di secondo grado fratta con due parametri #65199

avt
Galois
Amministratore
Prima di discutere l'equazione letterale fratta di secondo grado

\frac{nx^2-nx+2m x}{m x+nx+n+m}=0

è opportuno effettuare delle considerazioni. Fortunatamente l'equazione è già ridotta in forma normale, infatti al primo membro si manifesta un'unica frazione algebrica e il secondo membro è nullo. Inoltre l'incognita compare anche a denominatore pertanto dobbiamo imporre le opportune condizioni di esistenza richiedendo che il denominatore sia diverso da zero:

mx+nx+n+m\ne 0

Per analizzare la disuguaglianza, bisogna scomporre il polinomio al primo membro procedendo con il raccoglimento parziale. Più esplicitamente, raccogliamo x tra i primi due addendi

x(n+m)+n+m\ne 0

dopodiché raccogliamo il fattore comune n+m

(n+m)(x+1)\ne 0

Interviene la legge di annullamento del prodotto la quale garantisce che il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se ciascuno dei fattori che lo compongono sono diversi da zero

\\ n+m\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ n\ne -m \\ \\ x+1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -1

In definitiva, le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni sono:

C.E.: \ n\ne -m \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne -1

Osserviamo che se n=-m l'equazione parametrica perde di significato perché è cose se stessimo dividendo per zero.

Sotto tali vincoli, possiamo continuare la discussione usando il secondo principio di equivalenza delle equazioni che consente di eliminare il denominatore e di scrivere l'equazione equivalente

nx^2-nx+2mx=0 \ \ \ \to \ \ \ nx^2+(2m-n)x=0

Essa è un'equazione letterale di secondo grado i cui coefficienti sono:

a=n \ \ \ ; \ \ \  b=(2m-n) \ \ \ ; \ \ \ c=0

Prima di continuare, alcune osservazioni:

- il coefficiente di x^2 dipende dal parametro n, pertanto dovremo distinguere i casi n=0\ \mbox{e}\ n\ne 0;

- il termine noto è nullo a prescindere dai valori che assumono i parametri.

Nel caso in cui a=0, ossia n=0, l'equazione si riduce a un'equazione letterale di primo grado

2mx=0

la cui discussione avviene in base alla nullità o meno di m. In particolare:

- se m=0 l'equazione è soddisfatta per ogni x perché si riduce all'identità

0=0

Osserviamo però che il caso n=0 \ \mbox{e} \ m=0 è escluso dalla condizione di esistenza n\ne -m.

- Se m\ne 0, l'equazione ha come unica soluzione

x=0

accettabile perché rispetta le condizioni di esistenza.

Ora che il caso a=0 è stato analizzato a dovere, bisogna capire come comportarsi se a\ne 0, o in altri termini se n\ne 0.

In tale circostanza discutiamo l'equazione

nx^2+(2m-n)x=0

avvalendoci della formula del discriminante

\Delta=b^2-4ac= (2m-n)^2-4\cdot n\cdot 0= (2m-n)^2

il quale è certamente positivo o al più nullo perché a conti fatti è un quadrato di binomio. La sua non negatività garantisce che l'equazione ammette due soluzioni reali che ricaviamo con la relazione

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(2m-n)\pm\sqrt{(2m-n)^2}}{2n}= \\ \\ \\ =\frac{-2m+n\pm (2m-n)}{2n}=\\ \\ \\ =\begin{cases}\frac{-2m+n+2m-n}{2n}=0=x_1\\ \\ \frac{-2m+n-2m+n}{2n}=\frac{2(n-2m)}{2n}=\frac{n-2m}{n}=x_2\end{cases}

Ricaviamo dunque due valori

\bullet \ \ \ x_1=0 che non dipende dal valore dei parametri ed è accettabile per ogni n\ne 0;

\bullet \ \ \ x_2=\frac{n-2m}{n} che dipende dal valore di entrambi i parametri. Affinché sia accettabile, deve rispettare la condizione

x_2\ne -1 \ \ \ \to \ \ \ \frac{n-2m}{n}\ne -1

Analizziamo questa relazione trattandola come se fosse un'equazione fratta di primo grado

\frac{n-2m}{n}+1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ \frac{n-2m+n}{n}\ne 0

da qui cancelliamo il denominatore e sommiamo i termini simili al numeratore

2n-2m\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ 2n\ne 2m \ \ \ \to \ \ \ n\ne m

La soluzione x_2 è accettabile nel momento in cui n\ne m. Controlliamo cosa succede all'equazione fratta nel caso in cui n=m\ne 0 (se entrambi fossero nulli, andremmo contro la condizione n=-m): è sufficiente rimpiazzare a ogni occorrenza di n il parametro m

\frac{mx^2-mx+2m x}{m x+mx+m+m}=0

da cui sommando i termini simili

\frac{mx^2+mx}{2mx+2m}=0

Raccogliamo i fattori comuni sia al numeratore che al denominatore

\frac{mx(x+1)}{2m(x+1)}=0

e semplifichiamo a dovere, così da ricondurci alla seguente equazione di primo grado:

\frac{x}{2}=0 \ \ \ \to\ \ \ x=0

L'analisi è completa: non ci rimane che scrivere per bene le conclusioni:

- se n=-m, l'equazione perde di significato;

- se n\ne -m \ \mbox{e} \ n=0, l'equazione ammette la sola soluzione x=0;

- se n\ne -m \ \mbox{e} \ n\ne m, l'equazione ammette due soluzioni

x_1=0 \ \ \  ; \ \ \ x_2=\frac{n-2m}{n}

- se n\ne -m \ \mbox{e} \ n=m, l'equazione ammette la sola soluzione x=0.

Abbiamo terminato.
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