Scomposizione di un trinomio con parametro k

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Scomposizione di un trinomio con parametro k #65179

avt
FAQ
Punto
Mi serve una mano per risolvere un esercizio sulla scomposizione di polinomi di secondo grado con parametro. So che dovrei usare il metodo dell'equazione associata, tuttavia non sono in grado di gestire il parametro.

Determinare gli eventuali valori di k\ne 0 in modo che il seguente polinomio sia lo sviluppo del quadrato di un binomio. Scrivere inoltre la scomposizione del polinomio per i valori di k ottenuti.

4k^2x^2+4kx+1

Grazie.
Ringraziano: Iusbe
 
 

Scomposizione di un trinomio con parametro k #65180

avt
Ifrit
Ambasciatore
Consideriamo il polinomio

4k^2x^2+4kx+1

Il nostro compito è essenzialmente quello di determinare i valori di k\ne 0 affinché sia lo sviluppo di un quadrato di binomio. Per portarlo a termine, possiamo usare il metodo dell'equazione associata che prevede di considerare l'equazione di secondo grado e di analizzare il segno del suo discriminante \Delta.

Se il discriminante è positivo, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte e il polinomio è riducibile; se è nullo, l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti e il polinomio è effettivamente lo sviluppo del quadrato di un binomio (a meno di un fattore moltiplicativo); se il discriminante è negativo, l'equazione non ammette soluzioni reali e il polinomio non è riducibile in \mathbb{R}.

Dopo questa breve divagazione teorica, occupiamoci del nostro problema e consideriamo l'equazione di secondo grado:

4k^2x^2+4kx+1=0 \ \ \ \mbox{con} \ k\ne 0

Indichiamo con a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto:

a=4k^2 \ \ \ , \ \ \ b=4k \ \ \ , \ \ \ c=1

e calcoliamo il discriminante

\Delta=b^2-4ac=(4k)^2-4\cdot (4k)\cdot 1=16k^2-16k

In base alla teoria, il polinomio è effettivamente lo sviluppo del quadrato di un binomio se e solo se il \Delta è uguale a zero. Sia chiaro che deve valere anche il vincolo k\ne 0.

Imponiamo la nullità del discriminante così da ricavare l'equazione spuria:

\Delta=0 \ \ \ \to \ \ \ 16k^2-16k=0

che possiamo risolvere raccogliendo totalmente il termine 16k

16k(k-1)=0

e sfruttando a dovere la legge di annullamento del prodotto, grazie alla quale otteniamo le equazioni:

16k=0 \ \ \ \vee \ \ \ k-1=0

Dalla prima ricaviamo il valore k=0 che però non è accettabile perché viola la condizione k\ne 0. Dalla relazione k-1=0, otteniamo invece il valore k=1. Sostituito 1 a k, il polinomio diventa

4x^2+4x+1

che è lo sviluppo del quadrato di 2x+1, infatti:

(2x+1)^2=4x^2+4x+1

Abbiamo terminato!
Ringraziano: Ifrit
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Os