Scomposizione di un trinomio con parametro k

Mi serve una mano per risolvere un esercizio sulla scomposizione di polinomi di secondo grado con parametro. So che dovrei usare il metodo dell'equazione associata, tuttavia non sono in grado di gestire il parametro.

Determinare gli eventuali valori di in modo che il seguente polinomio sia lo sviluppo del quadrato di un binomio. Scrivere inoltre la scomposizione del polinomio per i valori di ottenuti.



Grazie.

Consideriamo il polinomio



Il nostro compito è essenzialmente quello di determinare i valori di affinché sia lo sviluppo di un quadrato di binomio. Per portarlo a termine, possiamo usare il metodo dell'equazione associata che prevede di considerare l'equazione di secondo grado e di analizzare il segno del suo discriminante .

Se il discriminante è positivo, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte e il polinomio è riducibile; se è nullo, l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti e il polinomio è effettivamente lo sviluppo del quadrato di un binomio (a meno di un fattore moltiplicativo); se il discriminante è negativo, l'equazione non ammette soluzioni reali e il polinomio non è riducibile in .

Dopo questa breve divagazione teorica, occupiamoci del nostro problema e consideriamo l'equazione di secondo grado:



Indichiamo con rispettivamente il coefficiente di , quello di e il termine noto:



e calcoliamo il discriminante



In base alla teoria, il polinomio è effettivamente lo sviluppo del quadrato di un binomio se e solo se il è uguale a zero. Sia chiaro che deve valere anche il vincolo .

Imponiamo la nullità del discriminante così da ricavare l'equazione spuria:



che possiamo risolvere raccogliendo totalmente il termine



e sfruttando a dovere la legge di annullamento del prodotto, grazie alla quale otteniamo le equazioni:



Dalla prima ricaviamo il valore che però non è accettabile perché viola la condizione . Dalla relazione , otteniamo invece il valore . Sostituito 1 a , il polinomio diventa



che è lo sviluppo del quadrato di , infatti:



Abbiamo terminato!