Esercizio prodotto tra polinomi con numeri decimali

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Esercizio prodotto tra polinomi con numeri decimali #65158

avt
FAQ
Punto
Mi è capitato un esercizio sul prodotto di due polinomi a coefficienti decimali. So che devo trasformare i numeri decimali nelle frazioni generatrici, però non ricordo più come si fa. Potreste aiutarmi?

Svolgere il seguente prodotto di polinomi

(x^2-0,3)(0,1\ x^3-1,2 \ x^2+0,2)

Grazie.
 
 

Esercizio prodotto tra polinomi con numeri decimali #65162

avt
Omega
Amministratore
Prima di dedicarci allo svolgimento della moltiplicazione tra polinomi

(x^2-0,3)(0,1\ x^3-1,2 \ x^2+0,2)

bisogna esprimere i coefficienti decimali nelle rispettive frazioni generatrici.

Ricordiamo che la frazione generatrice associata a un numero decimale finito ha:

- per numeratore il numero privato della virgola;

- per denominatore un uno seguito da tanti zeri quante sono le cifre della parte decimale.

Se possibile, inoltre, è buona abitudine ridurre la frazione ai minimi termini.

Seguiamo questo schema per ricavare le frazioni generatrici associate ai numeri decimali

\begin{array}{ll}\bullet \ \ \ 0,3=\dfrac{3}{10}\ \ \ & \bullet \ \ \ 0,1=\dfrac{1}{10} \\ \\  \\ \bullet \ \ \  1,2=\dfrac{12}{10}=\dfrac{6}{5}\ \ \ \ &\bullet \ \ \ 0,2=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}\end{array}

dopodiché le sostituiamo nell'espressione

(x^2-0,3)(0,1\ x^3-1,2 \ x^2+0,2)=

che diviene:

=\left(x^2-\frac{3}{10}\right)\left(\frac{1}{10}x^{3}-\frac{6}{5}x^{2}+\frac{1}{5}\right)=

Procediamo con i passaggi algebrici: scriviamo la somma dei prodotti tra ciascun termine del primo polinomio e il secondo

=x^2\left(\frac{1}{10}x^{3}-\frac{6}{5}x^{2}+\frac{1}{5}\right)+\left(-\frac{3}{10}\right)\left(\frac{1}{10}x^{3}-\frac{6}{5}x^{2}+\frac{1}{5}\right)=

dopodiché eseguiamo le moltiplicazioni tra i monomi e i polinomi associati: basta distribuire i monomi a ciascun termine dei polinomi.

\\ =x^2\left(\frac{1}{10}x^{3}\right)+x^{2}\left(-\frac{6}{5}x^{2}\right)+x^{2}\left(\frac{1}{5}\right)+ \\ \\ \\ +\left(-\frac{3}{10}\right)\left(\frac{1}{10}x^{3}\right)+\left(-\frac{3}{10}\right)\left(-\frac{6}{5}x^{2}\right)+\left(-\frac{3}{10}\right)\left(\frac{1}{5}\right)=

Svolgiamo i calcoli rimasti: moltiplichiamo tra loro i coefficienti, usando la regola dei segni per stabilire il segno corretto da attribuire loro, e la regola sul prodotto di due potenze con la stessa base per determinare gli esponenti da dare alle varie lettere.

\\ =\frac{1}{10}x^{2+3}-\frac{6}{5}x^{2+2}+\frac{1}{5}x^{2}+\left[-\frac{3}{10}\cdot\frac{1}{10}\right]x^{3}+\left[-\frac{3}{10}\cdot\left(-\frac{6}{5}\right)\right]x^{2}+\left(-\frac{3}{10}\cdot\frac{1}{5}\right)= \\ \\ \\ = \frac{1}{10}x^{5}-\frac{6}{5}x^{4}+\frac{1}{5}x^{2}+\left[-\frac{3}{10}\cdot\frac{1}{10}\right]x^{3}+\left[-\frac{3}{10}\cdot\left(-\frac{6}{5}\right)\right]x^{2}+\left(-\frac{3}{10}\cdot\frac{1}{5}\right)=

Calcoliamo il prodotto tra le frazioni, semplificandole in croce se possibile.

\\ = \frac{1}{10}x^{5}-\frac{6}{5}x^{4}+\frac{1}{5}x^{2}-\frac{3}{100}x^{3}+\left[-\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)\right]x^{2}-\frac{3}{50}= \\ \\ \\ = \frac{1}{10}x^{5}-\frac{6}{5}x^{4}+\frac{1}{5}x^{2}-\frac{3}{100}x^{3}+\frac{9}{25}x^{2}-\frac{3}{50}=

Attenzione! Non abbiamo ancora terminato: purtroppo il polinomio non è ridotto in forma normale, infatti compaiono due monomi simili a x^2 che vanno sommati algebricamente.

\\ =\frac{1}{10}x^{5}-\frac{6}{5}x^{4}+\left(\frac{1}{5}+\frac{9}{25}\right)x^{2}-\frac{3}{100}x^{3}-\frac{3}{50}= \\ \\ \\ =\frac{1}{10}x^{5}-\frac{6}{5}x^{4}+\left(\frac{5+9}{25}\right)x^{2}-\frac{3}{100}x^{3}-\frac{3}{50}=\\ \\ \\ =\frac{1}{10}x^{5}-\frac{6}{5}x^{4}+\frac{14}{25}x^{2}-\frac{3}{100}x^{3}-\frac{3}{50}

Ora l'esercizio è concluso!
Ringraziano: Pi Greco, Galois, tommy21
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Os