Esercizio sulla scomposizione di un trinomio con equazione associata

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Esercizio sulla scomposizione di un trinomio con equazione associata #65106

avt
FAQ
Punto
Non sono in grado di risolvere un esercizio sulla scomposizione di un polinomio parametrico. Mi viene chiesto di studiare la scomponibilità di un polinomio di secondo grado al variare di un parametro, inoltre devo determinare la scomposizione.

Studiare la scomponibilità del seguente polinomio al variare del parametro k\ne 1 e, in caso sia possibile, esplicitare la sua fattorizzazione.

(k-1)x^2-2kx+4

Grazie mille.
 
 

Esercizio sulla scomposizione di un trinomio con equazione associata #65122

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ci viene chiesto di studiare la scomponibilità del polinomio

(k-1)x^2-2kx+4

al variare del parametro reale k\ne 1 e, come se non bastasse, di fattorizzarlo nel caso sia possibile. L'esercizio può essere risolto avvalendosi del metodo dell'equazione associata che fornisce sia la condizione necessaria e sufficiente per la fattorizzazione, sia la regola di scomposizione.

Per prima cosa, consideriamo l'equazione di secondo grado associata al polinomio, ossia:

(k-1)x^2-2kx+4=0

e indichiamo con a, \ b \ \mbox{e} \ c il coefficiente di x^2, il coefficiente di x e termine noto:

a=(k-1) \ \ \ , \ \ \ b=-2k \ \ \ , \ \ \ c=4

Calcoliamo il discriminante con la formula

\Delta=b^2-4ac=(-2k)^2-4(k-1)\cdot 4=4k^2-16k+16

Si osservi che l'espressione ottenuta è in realtà il quadrato del binomio 2k-4, per cui il \Delta può essere riscritto come segue:

\Delta=(2k-4)^2

In base al segno del discriminante, possono verificarsi tre casi:

- se il \Delta è maggiore di zero, l'equazione associata ammette due soluzioni reali e distinte x_1\ \mbox{e} \ x_2 e il polinomio si scompone sfruttando la relazione:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

- se il \Delta è uguale a zero, l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti x_1=x_2 e il polinomio si scompone seguendo la regola:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2

- se il \Delta è negativo, l'equazione è impossibile e il polinomio risulta irriducibile in \mathbb{R}.

Nel caso considerato, il discriminante è certamente positivo o nullo, a prescindere dal valore assunto da k, infatti

\Delta=(2k-4)^2

è certamente una quantità non negativa, e in particolare è nulla se e solo se la base del quadrato è pari a zero.

\Delta\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ (2k-4)^{2}\ge 0 \ \ \ \mbox{per ogni} \ k\in\mathbb{R}

Possiamo pertanto affermare con certezza che il polinomio si può scomporre come prodotto di polinomi di grado inferiore, indipendentemente dal valore attribuito a k\ne 1.

A tal proposito, determiniamo le soluzioni dell'equazione associata usando la formula:

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-2k)\pm\sqrt{(2k-4)^2}}{2(k-1)}=\\ \\ \\ =\frac{2k\pm(2k-4)}{2(k-1)}=\begin{cases}\frac{2k-(2k-4)}{2(k-1)}=\frac{2k-2k+4}{2(k-1)}=\frac{2}{k-1}=x_1\\ \\ \frac{2k+2k-4}{2(k-1)}=\frac{4(k-1)}{2(k-1)}=2=x_2\end{cases}

Note le soluzioni, possiamo scomporre il polinomio con la relazione:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

mediante la quale ricaviamo

\\ (k-1)x^2-2kx+4=(k-1)\left(x-\frac{2}{k-1}\right)\left(x-2\right)=\\ \\ \\ = ((k-1)x-2)(x-2)

Ecco fatto!

Osservazione. A rigore, la radice quadrata del quadrato di un termine coincide con il valore assoluto del termine stesso

\sqrt{a^2}=|a| \ \ \ \mbox{per ogni} \ a\in\mathbb{R}

di conseguenza dovremmo scrivere la radice di (2k-4)^2 come il modulo di 2k-4, vale a dire:

\sqrt{(2k-4)^2}=|2k-4|

Tuttavia, nella formula risolutiva delle equazioni di secondo grado compare la coppia di segni \pm che ci permette di cancellare il valore assoluto.
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