Disequazione di secondo grado con radicali doppi

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Disequazione di secondo grado con radicali doppi #65041

avt
alex87
Punto
Ho un problemino con questa disequazione di secondo grado con i radicali, quando arrivo al calcolo del Delta mi blocco:

x-\sqrt{8}\leq x(\sqrt{8}-x)


Ho proceduto in questo modo

x^{2}+x(1-\sqrt{8})-\sqrt{8}\leq 0

calcolo il Delta

\Delta=9+6\sqrt{8}

però poi non riesco ad concludere...
Grazie per l'aiuto!
 
 

Disequazione di secondo grado con radicali doppi #65053

avt
Omega
Amministratore
Ciao Alex87,

hai una disequazione di secondo grado con i radicali, il primo passaggio è corretto e sei passato/a a risolvere l'equazione associata

x^{2}+x(1-\sqrt{8})-\sqrt{8}\leq 0

prendiamo

x^{2}+x(1-\sqrt{8})-\sqrt{8}= 0

e la risolviamo con la solita formula per le equazioni di secondo grado

x_{1,2}=\frac{-(1-\sqrt{8})\pm\sqrt{(1-\sqrt{8})^2+4\sqrt{8}}}{2}

da cui

x_{1,2}=\frac{-(1-\sqrt{8})\pm\sqrt{1-2\sqrt{8}+8+4\sqrt{8}}}{2}

x_{1,2}=\frac{-(1-\sqrt{8})\pm\sqrt{9+2\sqrt{8}}}{2}

quindi occhio ai conti quando effettui lo sviluppo del quadrato del binomio (1-\sqrt{8})

Il problema, per così dire, è ora il Delta \sqrt{9+2\sqrt{8}}. Devi usare la formula per i radicali doppi.

\sqrt{9+2\sqrt{8}}=

prendiamo il 2 e lo portiamo dentro la radice più interna

=\sqrt{9+\sqrt{4\cdot 8}}=\sqrt{9+\sqrt{32}}=

quindi usiamo la formula

=\sqrt{\frac{9+\sqrt{81-32}}{2}}+\sqrt{\frac{9-\sqrt{81-32}}{2}}=

=\sqrt{\frac{9+7}{2}}+\sqrt{\frac{9-7}{2}}=\sqrt{8}+\sqrt{1}=1+\sqrt{8}

torniamo alle soluzioni dell'equazione associata

x_{1,2}=\frac{\sqrt{8}-1\pm (1+\sqrt{8})}{2}=\begin{cases}\frac{\sqrt{8}-1+1+\sqrt{8}}{2}=\sqrt{8}\\ \frac{\sqrt{8}-1-1-\sqrt{8}}{2}=-1\end{cases}

Ora concludere è semplicissimo: ci basta ricordare che la disequazione nella forma finale era

x^{2}+x(1-\sqrt{8})-\sqrt{8}\leq 0

per cui prenderemo le soluzioni interne

-1\leq x\leq \sqrt{8}
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Os