Scomposizione di un polinomio parametrico

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Scomposizione di un polinomio parametrico #65039

avt
FAQ
Punto
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un esercizio sulla scomposizione di un polinomio di secondo grado con parametro. Penso si debba risolvere con il metodo dell'equazione associata (è l'ultimo argomento affrontato in classe), ma come?

Stabilire se il seguente polinomio è scomponibile o meno in \mathbb{R}, al variare del parametro reale k. Determinare inoltre il valore di k per cui il polinomio risulti il quadrato di un binomio.

x^2+4x+k

Grazie.
 
 

Scomposizione di un polinomio parametrico #65048

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per risolvere il problema, usiamo il metodo dell'equazione associata, una tecnica di scomposizione che si avvale della teoria delle equazioni di secondo grado.

In generale, un polinomio di secondo grado

ax^{2}+bx+c \ \ \ \mbox{con} \ a\ne 0

è scomponibile in \mathbb{R} se e solo se l'equazione associata

ax^2+bx+c=0

ammette soluzioni reali, e ciò si verifica solo nel caso in cui il discriminante dell'equazione è maggiore o al più uguale a zero. In particolare:

- se \Delta>0, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte x_{1}\ \mbox{e} \ x_2 e il polinomio si scompone con la regola:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

- se \Delta=0, l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti x_1=x_2 e il polinomio è effettivamente il quadrato di un binomio (a meno di un fattore moltiplicativo) e si scompone con la regola:

ax^2+bx+c=a (x-x_1)^2

- se \Delta<0, l'equazione non ammette soluzioni reali e il polinomio è irriducibile.

Dopo aver esposto un sunto della parte teorica, possiamo occuparci dell'esercizio vero e proprio.

Consideriamo il polinomio di secondo grado

x^2+4x+k

con k parametro reale. Per stabilire se esso è un polinomio riducibile su \mathbb{R}, consideriamo l'equazione di secondo grado parametrica.

x^2+4x+k=0

Indicati con a, \ b\ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto

a=1 \ \ \ ,\ \ \ b=4 \ \ \ , \ \ \ c=k

calcoliamo il discriminante con la formula

\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot 1\cdot k=16-4k

In accordo con la teoria, il polinomio è riducibile se e solo se il discriminante è positivo o al più nullo, ossia se sussiste la relazione:

\Delta\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ 16-4k\ge 0

Risolviamo la disequazione di primo grado, così da ricavare i numeri reali k che rendono non negativo il \Delta. Partiamo quindi da:

16-4k\ge 0

e isoliamo -4k al primo membro, trasportando al secondo 16 (cambiandogli il segno).

-4k\ge -16

Cambiamo i segni dei membri, il verso della disequazione e dividiamo in seguito per 4:

4k\le 16 \ \ \ \to \ \ \ k\le 4

Abbiamo scoperto che il discriminante è:

- positivo per k<4, di conseguenza l'equazione associata ammette due soluzioni reali e distinte e il polinomio è riducibile;

- nullo per k=4, in tal caso l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti e il polinomio non è altro che il quadrato di un binomio;

- negativo per k>4, pertanto l'equazione non ammette soluzioni reali e il polinomio risulta irriducibile.

Osserviamo che per k=4, il polinomio iniziale diventa x^2+4x+4 ed è a conti fatti il quadrato di un binomio, infatti:

x^2+4x+4=(x+2)^2

Ecco fatto!
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Os