Esercizio: riscrivere un polinomio come quadrato di un trinomio

Mi serve il vostro aiuto per scomporre un polinomio con sei termini. La traccia suggerisce di usare i prodotti notevoli, però non capisco quale possa essere quello che fa al caso mio.

Usare il prodotto notevole opportuno per scomporre il polinomio



Grazie mille.

La scomposizione del polinomio



si effettua con un prodotto notevole ben preciso, ossia:



Esso consente di scrivere un polinomio formato dalla somma dei quadrati di tre monomi e dai loro doppi prodotti come il quadrato del trinomio formato dai tre monomi.

Dal punto di vista operativo, occorre:

- individuare i termini quadratici e associare loro le basi;

- dedurre il segno da attribuire alle basi analizzando i segni dei doppi prodotti;

- controllare la correttezza dei segni scelti;

Chiaramente, alla fine va scritta la scomposizione del polinomio.

Nel nostro caso, i termini quadratici sono:

a cui possiamo associare la base oppure la base ;

a cui possiamo associare la base oppure la base ;

a cui possiamo associare la base oppure la base .

Nota: la base può avere coefficiente negativo o positivo perché l'elevamento al quadrato "cancella il segno".

Esaminiamo i doppi prodotti:

- il termine è il doppio prodotto tra le basi dei primi due quadrati: poiché ha coefficiente negativo, le due basi hanno coefficienti discordi;

- il termine è il doppio prodotto tra la base del primo quadrato e quella del terzo: poiché ha coefficiente negativo, le due basi hanno coefficienti discordi;

- il termine è il doppio prodotto tra la base del secondo quadrato e quella del terzo: poiché ha coefficiente positivo, le due basi hanno coefficienti concordi.

Deduciamo che la base del primo quadrato è discorde sia con quella del secondo sia con quella del terzo, per cui se scegliamo come base del primo quadrato , le altre due dovranno essere obbligatoriamente .

Effettuiamo un controllo per verificare se i doppi prodotti coincidano con quelli presenti nel polinomio:



Effettivamente sono uguali, ergo siamo autorizzati a scomporre come segue il polinomio dato:



Abbiamo finito!