Esercizio: riscrivere un polinomio come quadrato di un trinomio

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Esercizio: riscrivere un polinomio come quadrato di un trinomio #65018

avt
FAQ
Punto
Mi serve il vostro aiuto per scomporre un polinomio con sei termini. La traccia suggerisce di usare i prodotti notevoli, però non capisco quale possa essere quello che fa al caso mio.

Usare il prodotto notevole opportuno per scomporre il polinomio

a^2+b^2+16-2ab-8a+8b

Grazie mille.
 
 

Esercizio: riscrivere un polinomio come quadrato di un trinomio #65074

avt
Omega
Amministratore
La scomposizione del polinomio

a^2+b^2+16-2ab-8a+8b

si effettua con un prodotto notevole ben preciso, ossia:

A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC=(A+B+C)^2

Esso consente di scrivere un polinomio formato dalla somma dei quadrati di tre monomi e dai loro doppi prodotti come il quadrato del trinomio formato dai tre monomi.

Dal punto di vista operativo, occorre:

- individuare i termini quadratici e associare loro le basi;

- dedurre il segno da attribuire alle basi analizzando i segni dei doppi prodotti;

- controllare la correttezza dei segni scelti;

Chiaramente, alla fine va scritta la scomposizione del polinomio.

Nel nostro caso, i termini quadratici sono:

a^2 a cui possiamo associare la base a oppure la base -a;

b^2 a cui possiamo associare la base b oppure la base -b;

16 a cui possiamo associare la base 4 oppure la base -4.

Nota: la base può avere coefficiente negativo o positivo perché l'elevamento al quadrato "cancella il segno".

Esaminiamo i doppi prodotti:

- il termine -2ab è il doppio prodotto tra le basi dei primi due quadrati: poiché ha coefficiente negativo, le due basi hanno coefficienti discordi;

- il termine -8a è il doppio prodotto tra la base del primo quadrato e quella del terzo: poiché ha coefficiente negativo, le due basi hanno coefficienti discordi;

- il termine 8b è il doppio prodotto tra la base del secondo quadrato e quella del terzo: poiché ha coefficiente positivo, le due basi hanno coefficienti concordi.

Deduciamo che la base del primo quadrato è discorde sia con quella del secondo sia con quella del terzo, per cui se scegliamo come base del primo quadrato A=a, le altre due dovranno essere obbligatoriamente B=-b\ \mbox{e} \ C=-4.

Effettuiamo un controllo per verificare se i doppi prodotti coincidano con quelli presenti nel polinomio:

\\ 2AB=2\cdot a\cdot (-b)=-2ab \\ \\ 2AC=2\cdot a\cdot (-4)=-8a \\ \\ 2BC=2\cdot (-b)\cdot (-4)=8b

Effettivamente sono uguali, ergo siamo autorizzati a scomporre come segue il polinomio dato:

a^2+b^2+16-2ab-8a+8b=(a-b-4)^2

Abbiamo finito!
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, BleakHeart, Iusbe
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