Prodotto tra polinomio e monomio e proprietà delle potenze

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Prodotto tra polinomio e monomio e proprietà delle potenze #64924

avt
FAQ
Punto
Non so come calcolare il prodotto di un polinomio per un monomio, nonostante abbia studiato molto la teoria. Il mio problema risiede essenzialmente nello stabilire gli esponenti da dare alle lettere dei prodotti parziali: come si fa?

Esprimere il seguente prodotto in forma normale:

(a+b+a^2b+ab^2)\cdot 4 a^{2}b^{3}

Grazie.
Ringraziano: Omega, CarFaby
 
 

Prodotto tra polinomio e monomio e proprietà delle potenze #65015

avt
Ifrit
Amministratore
Il calcolo del prodotto di un polinomio per un monomio si basa su una nota regola delle operazioni: la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

Dal punto di vista operativo, è sufficiente moltiplicare il monomio per ciascun termine del polinomio e sommare, infine, i prodotti parziali. Si noti che ci torneranno utili sia la regola dei segni (serve ad attribuire i segni ai coefficienti dei prodotti) sia la proprietà sul prodotto di due potenze con la stessa base (serve a ricavare gli esponenti delle lettere che compongono la parte letterale dei prodotti parziali).

Dopo la breve parentesi teorica, risolviamo l'esercizio:

(a+b+a^2b+ab^2)\cdot 4 a^{2}b^{3}=

Moltiplichiamo il monomio 4a^{2}b^3 per ciascun termine del polinomio

=a\cdot 4a^{2}b^3+b\cdot 4a^2b^3+a^2b\cdot 4a^2b^3+ab^2\cdot 4a^2b^3=

dopodiché esplicitiamo i prodotti tra i monomi

\\ =4a^{2+1}b^3+4a^{2}b^{3+1}+4a^{2+2}b^{3+1}+4a^{2+1}b^{2+3}= \\ \\ =4a^{3}b^3+4a^{2}b^{4}+4a^{4}b^{4}+4a^{3}b^{5}

Abbiamo finito: si noti, infatti, che il polinomio prodotto è espresso in forma normale.
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