Equazione fratta di grado 1 con scomposizione per CE

Stavo svolgendo alcuni esercizi sulle equazioni fratte di primo grado, quando mi sono ritrovato un'equazione molto particolare perché compare la divisione tra polinomi. Sinceramente non riesco a capire come muovermi, ecco perché chiedo il vostro intervento.

Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione fratta



Grazie.

A un primo impatto



non ha affatto l'aspetto di un'equazione fratta di primo grado: non sembrano esserci denominatori e tra l'altro c'è un polinomio di secondo grado.

A conti fatti, però, i denominatori ci sono eccome e sono rappresentati dai divisori che compongono le divisioni. Ricordiamo, infatti, che una divisione può essere espressa mediante il prodotto tra il dividendo e il reciproco del divisore, purché quest'ultimo sia non nullo.

Prima di continuare, imponiamo quindi le condizioni di esistenza, richiedendo che i divisori siano diversi da zero.

Imponiamo che sia non nullo



Per quanto concerne la non nullità del secondo divisore, dobbiamo procedere con maggiore attenzione



Il primo membro è il quadrato del binomio , per cui la relazione si esprime nella forma equivalente



Tenendo conto che una potenza è non nulla se e solo se la base è diversa da zero ricaviamo la condizione:



In definitiva, possiamo affermare che l'insieme di esistenza associato all'equazione è:



dove è il simbolo che indica la congiunzione logica.

Sotto i vincoli dettati dalle condizioni di esistenza, trasformiamo la divisione in prodotto:



Semplifichiamo la frazione algebrica e, al contempo, trasportiamo tutti i termini al primo membro



Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore



Ora che il denominatore ha svolto il proprio ruolo possiamo sbarazzarcene



Sviluppiamo i vari prodotti avvalendoci della regola dei segni



Sommiamo i monomi simili



e risolviamo l'equazione di primo grado ottenuta seguendo il procedimento standard: basta isolare l'incognita al primo membro.



La soluzione è chiaramente accettabile perché rispetta tutti i vincoli dettati dalle condizioni di esistenza, pertanto possiamo concludere che l'equazione è determinata e il suo insieme soluzione è