Scomposizione con somma e differenza di due polinomi di grado 2

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Scomposizione con somma e differenza di due polinomi di grado 2 #64879

avt
marioilcupo
Punto
Salve non riesco a scomporre i seguenti polinomi:

x^2+3x+9

x^2+3x-9

Ho provato a scomporli così:
(x-9)(x+3) Il primo

(x+9)(x+3) Il secondo
 
 

Scomposizione con somma e differenza di due polinomi di grado 2 #64891

avt
Galois
Amministratore
Ciao marioilcupo emt

Le scomposizioni che proponi sono entrambe errate. emt

Procediamo con ordine:

Per scomporre un polinomio è fondamentale conoscere i prodotti notevoli.

Siamo di fronte a due trinomi:

x^2+3x+9 e

x^2+3x-9

possiamo escludere che entrambi siano lo sviluppo di un quadrato di binomio, in quanto nel primo, nonostante ci sono due quadrati con segno positivo, il doppio prodotto delle basi non coincide con 3x ed, il secondo, ha un quadrato (9) con segno negativo.

Potremmo allora pensare al trinomio di tipo particolare.

Fissiamo la nostra attenzione sul primo:

x^2+3x+9

Dovremmo cercare di trovare due numeri a \ \mbox{e} \ b il cui prodotto (che indico con P) sia uguale a 9 e la cui somma (che indico con S) sia uguale a 3.

i numeri interi che come prodotto di danno 9 sono: a=3, b=3 oppure a=1, b=9

Ma in nessuno dei due casi la somma ci dà 3.

C'è qualcosa che non va.. Dobbiamo iniziare a pensare che il polinomio non sia scomponibile. Abbiamo conferma del fatto che non è scomponibile se andiamo a calcolare il discriminante associato al nostro polinomio.

Scoprirai che è un numero minore di zero. Cosa vuol dire?

In generale se hai un'equazione di secondo grado del tipo:

ax^2+bx+c=0

il polinomio del primo membro può essere scomposto come:

a(x-x_1)(x-x_2)

dove x_1 \ \mbox{e} \ x_2 sono le soluzioni (reali) della nostra equazione.

Trovandoci di fronte ad un delta negativo tali radici reali non esistono e quindi il primo polinomio non si può scomporre.

L'unica cosa che potresti fare è cercare di completare il quadrato, ovvero scrivere:

3x come 6x-3x ed avere quindi:

x^2+6x-3x+9

ora x^2+6x+9

è lo sviluppo di un quadrato di binomio, quindi possiamo scrivere:

x^2+3x+9=x^2+6x-3x+9=(x+3)^2-3x

ma questa non è una vera e propria scomposizione. Per essere tale dovresti avere una serie di prodotti.

Prova a ripetere il ragionamento per il secondo emt

PS: per renderti conto che le scomposizioni da te trovate non vanno bene prova a sviluppare i calcoli. Noterai che, in entrambi i casi, non ti vien fuori il polinomio di partenza emt
Ringraziano: Omega, CarFaby
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Os