Disequazione con un valore assoluto dentro un altro

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Disequazione con un valore assoluto dentro un altro #64876

avt
steks93
Punto
Ciao a tutti! Mi sto cimentando con una disequazione in cui c'è un valore assoluto all'interno di un altro valore assoluto. Mi sembra un esercizio abbastanza complicato dal quale non trovo soluzioni adeguate.

\left | x+\left |x ^{2}-4 \right | \right |\geq -x


[Edit - Mod: Omega] Tentativo di risoluzione di difficile lettura, lo metto in spoiler. [/Edit]

:pinch: Spoiler: test nascosto! Clicca qui per visualizzarlo

Scusate il disturbo e grazie in anticipo, ciao!
 
 

Disequazione con un valore assoluto dentro un altro #64900

avt
Omega
Amministratore
Mi sembra che manchino un po' di cose, dunque è il caso che tu legga la lezione sulle disequazioni con valori assoluti.

Se vuoi procedere con il metodo algebrico e vuoi risolvere la disequazione

|x+|x^2-4||\geq -x

devi riscrivere la disequazione ed eliminare di volta in volta i moduli specificando i segni dei loro argomenti. Quindi in partenza dovresti considerare il modulo esterno e considerare l'unione di due sistemi

\begin{cases}x+|x^2-4|\geq 0\\ +(x+|x^2-4|)\geq -x\end{cases}\ \bigcup\ \begin{cases}x+|x^2-4|< 0\\ -(x+|x^2-4|)\geq -x\end{cases}

che diventa

\begin{cases}|x^2-4|\geq -x\\ |x^2-4|\geq -2x\end{cases}\ \bigcup\ \begin{cases}|x^2-4|< -x\\ |x^2-4|\leq 0\end{cases}

La seconda disequazione del secondo sistema si riduce immediatamente ad un'equazione, perché il valore assoluto di un numero reale è per definizione una quantità positiva o alla peggio nulla. L'unica possibilità consiste nel fatto che l'argomento del modulo sia nullo

\begin{cases}|x^2-4|\geq -x\\ |x^2-4|\geq -2x\end{cases}\ \bigcup\ \begin{cases}|x^2-4|< -x\\ x^2-4= 0\ \to\ x=\pm 2\end{cases}

Il secondo sistema è per l'appunto un sistema e quindi le soluzioni devono verificare entrambe le disequazioni. La seconda è un'equazione ed ha un numero finito di soluzioni, possiamo vedere immediatamente se soddisfano anche la prima disequazione

x=-2\ \to\ |4-4|< -(-2)\ \mbox{? YES}

x=+2\ \to\ |4-4|< -(+2)\ \mbox{? NO}

Quindi ci siamo ridotti ad un unico sistema le cui soluzioni andranno unite ad un punto

\begin{cases}|x^2-4|\geq -x\\ |x^2-4|\geq -2x\end{cases}\ \bigcup\ \{x=-2\}

Ora bisogna risolvere separatamente le due disequazioni del primo sistema. Puoi risolverle a parte riapplicando meccanicamente il procedimento per le disequazioni con un valore assoluto, prendendone le rispettive soluzioni e mettendole a sistema.

PRIMA DISEQUAZIONE

|x^2-4|\geq -x

che diventa

\begin{cases}x^2-4\geq 0\\ +(x^2-4)\geq -x\end{cases}\ \bigcup\ \begin{cases}x^2-4<0\\ -(x^2-4)\geq -x\end{cases}

che dà come soluzioni: x\leq \frac{1}{2}(-1-\sqrt{17})\vee x\geq \frac{1}{2}(1-\sqrt{17})

SECONDA DISEQUAZIONE

|x^2-4|\geq -2x

che si traduce in

\begin{cases}x^2-4\geq 0\\ +(x^2-4)\geq -2x\end{cases}\ \bigcup\ \begin{cases}x^2-4<0\\ -(x^2-4)\geq -2x\end{cases}

e che dà come soluzioni: x\leq -1-\sqrt{5}\vee x\geq 1-\sqrt{5}.

TORNANDO A NOI

Sostituiamo in

\begin{cases}|x^2-4|\geq -x\\ |x^2-4|\geq -2x\end{cases}\ \bigcup\ \{x=-2\}

le soluzioni appena determinate

\begin{cases}x\leq \frac{1}{2}(-1-\sqrt{17})\vee x\geq \frac{1}{2}(1-\sqrt{17})\\ x\leq -1-\sqrt{5}\vee x\geq 1-\sqrt{5}\end{cases}\ \bigcup\ \{x=-2\}

In definitiva, le soluzioni della disequazione sono date da

\{x\in\mathbb{R}\ :\ x\leq -1-\sqrt{5}\ \vee\ x\geq +1-\sqrt{5}\ \vee\ x=-2\}
Ringraziano: Pi Greco, Galois, CarFaby, Iusbe, steks93
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