Fattorizzazione di un polinomio con quadrato del trinomio

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Fattorizzazione di un polinomio con quadrato del trinomio #64822

avt
FAQ
Punto
Avrei bisogno di una mano per scomporre un polinomio di quarto grado: ho tentato qualsiasi tecnica di scomposizione che conosco, senza però raggiungere l'obiettivo. Il mio insegnante mi ha suggerito di utilizzare la regola del quadrato di trinomio che però io ho completamente dimenticato.

Scomporre il seguente polinomio usando la tecnica di fattorizzazione opportuna:

4x^4+9+x^2+4x^3-6x-12x^2

Grazie mille.
Ringraziano: BleakHeart
 
 

Fattorizzazione di un polinomio con quadrato del trinomio #64842

avt
Omega
Amministratore
Il testo ci chiede di scomporre il polinomio

4x^4+9+x^2+4x^3-6x-12x^2

usando un'opportuna tecnica di fattorizzazione. Sebbene la regola di Ruffini sia uno strumento potente per quanto concerne le scomposizioni, fallisce miseramente di fronte a questo polinomio. In questa circostanza, infatti, ci torna utile la regola relativa al quadrato di un trinomio:

A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC=(A+B+C)^2

Esso è il prodotto notevole che consente di esprimere il polinomio formato dalla somma dei quadrati di tre monomi aumentata dei loro doppi prodotti mediante il quadrato della somma dei monomi.

Per usare il prodotto notevole dobbiamo:

- individuare i termini quadratici e ricavare le loro basi;

- dedurre i segni delle basi da quello dei coefficienti dei doppi prodotti;

- ricalcolare i doppi prodotti per assicurarsi che coincidano con quelli presenti nel polinomio.

Dopo aver effettuato questi passaggi, siamo autorizzati a scomporre il polinomio con la regola del quadrato di trinomio.

Esaminiamo i termini del polinomio

4x^4+9+x^2+4x^3-6x-12x^2

Dovrebbe essere evidente che i termini quadratici siano:

A^2=4x^4 \ \ \ , \ \ \ B^2=x^2 \ \ \ ,\ \ \ C^2=9

La base associata al primo quadrato può essere A=2x^2\ \mbox{o} \ A=-2x^2, infatti le proprietà delle potenze e la regola dei segni garantiscono la veridicità delle seguenti relazioni:

\\ (2x^2)^2=2^2(x^2)^2=4x^{2\cdot 2}=4x^{4} \\ \\ \mbox{e} \\ \\ (-2x^2)^2=(-1)^2\cdot 2^{2}\cdot (x^{2})^2=4x^{2\cdot 2}=4x^{4}

Per lo stesso motivo, la base associata al secondo quadrato può essere B=x \ \mbox{o}\ B=-x, mentre la base associata al terzo quadrato può essere C=-3 \ \mbox{o} \ C=3.

Chiaramente dobbiamo determinare i segni delle basi, ma come? Basta analizzare il segno dei doppi prodotti!

Il doppio prodotto tra 2x^2\ \mbox{e} \ x è:

2\cdot 2x^2\cdot x=4x^{2+1}=4x^3

e coincide con il termine del polinomio. La positività del suo coefficiente (4) garantisce che i coefficienti delle base dei primi due termini quadratici abbiano lo stesso segno.

Il doppio prodotto tra 2x^2\ \mbox{e} \ 3 è:

2\cdot 2x^2\cdot 3= 12x^2

Attenzione! Nel polinomio compare -12x^2, il cui coefficiente è negativo, conseguentemente la base del primo quadrato e quella del terzo devono necessariamente avere coefficienti discordi (segni opposti).

Il doppio prodotto tra x \ \mbox{e} \ 3 è:

2\cdot x\cdot 3=6x

Attenzione! Nel polinomio compare -6x, per cui la base del secondo quadrato e la base del terzo devono essere necessariamente discordi.

Ricapitolando devono essere:

- concordi la base del primo e quella del secondo quadrato;

- discordi sia la base del primo e quella del terzo quadrato, sia la base del secondo e quella del terzo;

Se scegliessimo A=2x^2, per concordanza dovremmo considerare B=x e per discordanza C=-3, per cui lo sviluppo sarebbe:

4x^4+9+x^2+4x^3-6x-12x^2=(2x^2+x-3)^2

Se scegliessimo A=-2x^2, necessariamente B=-x\ \mbox{e} \ C=3, per cui lo sviluppo diventerebbe:

4x^4+9+x^2+4x^3-6x-12x^2=(-2x^2-x+3)^2

Nota: entrambe le scomposizioni sono accettabili! Si osservi che i trinomi base differiscono solo dei segni, ossia:

-2x^2-x+3=-(2x^2+x-3)

e nel momento in cui eleviamo al quadrato, il segno meno sparisce

(-2x^2-x+3)^2=(2x^2+x-3)^2

Ciò dimostra che le due scomposizioni sono identiche.
Ringraziano: angiolet89, CarFaby, BleakHeart, Iusbe
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