Equazione con logaritmo di x quadro

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Equazione con logaritmo di x quadro #64783

avt
calocalo22
Punto
Salve a tutti sono una new entry! Devo risolvere un'equazione con logaritmo e x quadro ma non sono sicura del mio svolgimento

\ln(x^2+1)= 2


[Edit - Mod: Omega] C'era una volta un tentativo di svolgimento, ma era veramente incomprensibile (troppo disordinato). Rimosso. [/Edit]  
 
 

Equazione con logaritmo di x quadro #64797

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Calocalo22.

Abbiamo l'equazione logaritmica:

\ln(x^2+1)= 2

In questo caso è sufficiente applicare membro a membro la funzione inversa del logaritmo in base e, ovvero la funzione esponenziale in base e:

e^{\ln(x^2+1)}= e^{2}

Per definizione di logaritmo si ha che:

e^{\ln(x^2+1)}= x^2+1

di conseguenza l'equazione logaritmica diventa:

x^2+1= e^{2}

Isoliamo al primo membro x^2:

x^2= e^{2}-1

Abbiamo ottenuto una equazione di secondo grado pura, dunque le soluzioni sono:

x^2= e^{2}-1\implies \begin{cases}x_1= \sqrt{e^{2}-1}\\ x_2= -\sqrt{e^{2}-1}\end{cases}

___________________________________

Il tuo procedimento dovrebbe portare allo stesso risultato. Tu hai espresso:

2= \frac{\log_{2}(4)}{\log_{2}(2)}= \log_{2}(4)

Osserva che \log_{2}(2)= 1

2= \log_{2}(4)

Tramite la formula di cambiamento di base per i logaritmi scrivi:

\ln(x^2+1)= \frac{\log_{2}(x^2+1)}{\log_2(e)}

Quindi sei passato dalla base e alla base 2. L'equazione si riscrive come:

\frac{\log_{2}(x^2+1)}{\log_{2}(e)}= \log_{2}(4)

Moltiplichiamo membro a membro per \log_{2}(e):

\log_{2}(x^2+ 1)= \log_{2}(4) \log_{2}(e)

Attenzione ora:

\log_{2}(x^2+1)= 2\log_{2}(e)

Per la proprietà dei logaritmi \alpha \log(\beta)= \log(\beta^{\alpha})

\log_{2}(x^2+1)= \log_{2}(e^{2})

Uguagliamo gli argomenti:

x^2+1= e^{2}

abbiamo ottenuto la stessa equazione di prima, e dunque gli stessi risultati.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, CarFaby, calocalo22
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