Esercizio equazione parametrica di secondo grado

Potreste aiutarmi a discutere un'equazione letterale di secondo grado? In buona sostanza, ho capito che devo trovare le soluzioni dell'equazione al variare di un parametro, ma non so come risolvere.

Discutere la seguente equazione di secondo grado al variare del parametro reale



Grazie.

Il nostro obiettivo consiste nel determinare le soluzioni dell'equazione parametrica di secondo grado



al variare del parametro . Prima di procedere con la discussione, è opportuno effettuare alcune osservazioni:

- il coefficiente di non è letterale, nel senso che non dipende da , dunque il grado dell'equazione sarà sempre e comunque 2 indipendentemente dal valore che assume il parametro;

- l'equazione è completa ed espressa in forma normale. I suoi coefficienti sono:



Grazie a questi ultimi, siamo in grado di calcolare il discriminante associato con la formula



L'esistenza o meno delle soluzioni reali dipende dal segno del Delta, infatti, dalla teoria delle equazioni di secondo grado sappiamo che:

- se , l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte;

- se , l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti;

- se , l'equazione non ammette soluzioni reali.

Nel caso in esame, il discriminante è ed è negativo se . Osserviamo infatti che è il prodotto tra la quantità negativa e la potenza con esponente pari , la quale per è certamente positiva. In tal caso possiamo subito concludere che l'equazione non ammette soluzioni.

Se allora il delta è uguale a zero, e in tal caso l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti. Per ricavarle, rimpiazziamo nell'equazione il valore



da cui



Ci siamo ricondotti a un'equazione monomia le cui soluzioni sono .

Osserviamo che il discriminante non è mai positivo per alcun valore del parametro, di conseguenza l'equazione non ammette mai due soluzioni reali e distinte.

Orbene, la discussione è completa: non ci resta che scrivere per bene le conclusioni.

Se , l'equazione è impossibile e il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto, vale a dire



Se , l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti , e il suo insieme soluzione è .

L'esercizio è terminato.