Equazione parametrica fratta con 2 parametri

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Equazione parametrica fratta con 2 parametri #64418

avt
man45780
Punto
Avrei bisogno del vostro aiuto per discutere un'equazione letterale fratta di secondo grado al variare di due parametri reali. Non ho molte difficoltà nei calcoli, bensì nella discussione finale vera e propria.

Determinare le eventuali soluzioni dell'equazione letterale fratta di secondo grado

\frac{x^2+3mx-n}{x-1}-n=0

al variare dei parametri m \ \mbox{e} \ n.

Grazie mille.
Ringraziano: Omega
 
 

Equazione parametrica fratta con 2 parametri #64592

avt
Galois
Amministratore
Per ottenere le eventuali soluzioni dell'equazione letterale fratta

\frac{x^2+3mx-n}{x-1}-n=0

bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza, richiedendo la non nullità del denominatore che contiene l'incognita. Proprio perché non è possibile dividere per zero imponiamo

x-1\ne0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 1

pertanto l'insieme di esistenza delle soluzioni è dettato dalla condizione

C.E.:\ x\ne 1

Da qui in poi, eseguiremo i passaggi algebrici che consento di esprimere l'equazione in forma normale, partendo dal calcolo del minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore

\frac{x^2+3mx-n-n(x-1)}{x-1}=0

Sviluppiamo il prodotto e sommiamo tra loro i monomi simili

\\ \frac{x^2+3mx-n-nx+n}{x-1}=0 \\ \\ \\ \frac{x^2+(3m-n)x}{x-1}=0

Sotto la condizione x\ne 1, il secondo principio di equivalenza delle equazioni permette di cancellare il denominatore e di scrivere l'equazione equivalente

x^2+(3m-n)x=0

Essa è chiaramente un'equazione letterale di secondo grado con coefficienti

a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=3m-n \ \ \ ; \ \ \ c=0

Dalla nullità del termine noto segue che è più propriamente un'equazione spuria che possiamo analizzare mettendo in evidenza il fattore comune x

x(x+3m-n)=0

Per la legge di annullamento del prodotto, il primo membro è zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero

\\ x=0 \\ \\ x+3m-n= \ \ \ \to \ \ \ x=n-3m

Abbiamo ricavato due valori:

\bullet \ \ \ x_1=0 che non dipende dai parametri ed è soluzione dell'equazione parametrica fratta a prescindere dai valori che n\ \mbox{e} \ m assumono;

\bullet \ \ \ x_2=n-3m che dipende da entrambi i parametri. Essa è una soluzione accettabile dell'equazione fratta se rispetta il vincolo che definisce l'insieme di esistenza:

x_2\ne 1

Esso si traduce nella disuguaglianza

n-3m\ne 1 \ \ \ \to \ \ \ n\ne 1+3m

quindi se n=1+3m, x_2=n-3m non è soluzione accettabile dell'equazione fratta.

Vediamo come diventa l'equazione parametrica se n=1+3m. In termini più espliciti rimpiazzeremo n con 1+3m nella traccia, ottenendo:

\frac{x^2+3mx-(1+3m)}{x-1}-(1+3m)=0

Calcoliamo il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore

\frac{x^2+3mx-1-3m-(1+3m)(x-1)}{x-1}=0

e sviluppiamo il prodotto a numeratore

\frac{x^2+3m x-1-3m-x+1-3mx+3m}{x-1}=0

Per x\ne 1 cancelliamo il denominatore così da ottenere l'equazione spuria

x^2-x=0

che risolviamo mettendo in evidenza x e sfruttando la legge di annullamento del prodotto

x(x-1)=0 \ \ \ \to \ \  \ x=0 \ \vee \ x=1

Il valore x=1 non è accettabile perché va contro la condizione x\ne 1, pertanto x=0 è l'unica soluzione.

Ora possediamo tutte le informazioni necessarie a scrivere per bene le conclusioni:

- se n\ne 1+3m, l'equazione ammette due soluzioni reali

x_1=0 \ \ \ ; \ \ \ x_2=n-3m

- se n=1+3m, l'equazione ammette una soluzione

x=0

Abbiamo finito.
Ringraziano: Iusbe
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Os