Equazione parametrica fratta con 2 parametri

Avrei bisogno del vostro aiuto per discutere un'equazione letterale fratta di secondo grado al variare di due parametri reali. Non ho molte difficoltà nei calcoli, bensì nella discussione finale vera e propria.

Determinare le eventuali soluzioni dell'equazione letterale fratta di secondo grado



al variare dei parametri .

Grazie mille.

Per ottenere le eventuali soluzioni dell'equazione letterale fratta



bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza, richiedendo la non nullità del denominatore che contiene l'incognita. Proprio perché non è possibile dividere per zero imponiamo



pertanto l'insieme di esistenza delle soluzioni è dettato dalla condizione



Da qui in poi, eseguiremo i passaggi algebrici che consento di esprimere l'equazione in forma normale, partendo dal calcolo del minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore



Sviluppiamo il prodotto e sommiamo tra loro i monomi simili



Sotto la condizione , il secondo principio di equivalenza delle equazioni permette di cancellare il denominatore e di scrivere l'equazione equivalente



Essa è chiaramente un'equazione letterale di secondo grado con coefficienti



Dalla nullità del termine noto segue che è più propriamente un'equazione spuria che possiamo analizzare mettendo in evidenza il fattore comune



Per la legge di annullamento del prodotto, il primo membro è zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero



Abbiamo ricavato due valori:

che non dipende dai parametri ed è soluzione dell'equazione parametrica fratta a prescindere dai valori che assumono;

che dipende da entrambi i parametri. Essa è una soluzione accettabile dell'equazione fratta se rispetta il vincolo che definisce l'insieme di esistenza:



Esso si traduce nella disuguaglianza



quindi se , non è soluzione accettabile dell'equazione fratta.

Vediamo come diventa l'equazione parametrica se . In termini più espliciti rimpiazzeremo con nella traccia, ottenendo:



Calcoliamo il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore



e sviluppiamo il prodotto a numeratore



Per cancelliamo il denominatore così da ottenere l'equazione spuria



che risolviamo mettendo in evidenza e sfruttando la legge di annullamento del prodotto



Il valore non è accettabile perché va contro la condizione , pertanto è l'unica soluzione.

Ora possediamo tutte le informazioni necessarie a scrivere per bene le conclusioni:

- se , l'equazione ammette due soluzioni reali



- se , l'equazione ammette una soluzione



Abbiamo finito.