Sistema non lineare con 2 equazioni in 2 incognite

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Sistema non lineare con 2 equazioni in 2 incognite #64382

avt
tia31
Punto
Buongiorno, ho questo sistema non lineare di due equazioni in due incognite (credo sia non lineare, da quanto letto in un vostro post):

\begin{cases}x^2-3y^2-8x+6y+12=0\\ -xy+x+6y-6=0\end{cases}


Provo a risolverlo: isolo la x dalla seconda equazione ed ottengo x=6 (fissando le C.E. y\neq 1 ) ed ottengo come soluzioni i punti (6,2) e (6,0), però dovrei ottenere anche i punti (3,1),\ (5,1).

Come faccio ad ottenere anche questi punti?
Grazie a tutti
 
 

Sistema non lineare con 2 equazioni in 2 incognite #64384

avt
jimmypage1976
Sfera
Ciao tia emt

Per risolvere il sistema conviene procedere in questo modo

Partiamo dalla seconda equazione:

-xy +x +6y -6=0

Possiamo effettuare un raccoglimento parziale mettendo in evidenza -x tra i primi due termini e 6 tra gli ultimi due:

Avremo:

-x(y-1) +6(y-1) =0

Da cui, raccogliendo il fattore comune (y-1)

si ha:

(y-1)(6-x)=0

Per la legge di annullamento del prodotto avremo:

y=1 \ \mbox{oppure} \ x=6

A questo punto, per ottenere le soluzioni del nostro sistema andremo a sostituire separatamente i due valori trovati nella prima equazione del sistema.

\bullet \ \mbox{Per} \ y=1:

\begin{cases}x^2-3y^2-8x+6y+12=0 \\ y=1 \end{cases}

La prima equazioni diventa un'equazione di secondo grado:

x^2-8x+15=0

che ha come soluzioni:

x_1=3, \ x_2=5

Abbiamo quindi le prime due coppie di soluzioni:

(3,1) \ \mbox{e} \ (5,1)

Stesso identico discorso quando andiamo a sostituire, nella prima equazione, x=6
Ringraziano: Omega, Pi Greco, tia31, 3²+4²=5²

Sistema non lineare con 2 equazioni in 2 incognite #64404

avt
tia31
Punto
Come mai se trovo x dalla seconda equazione:

-x(y-1) +6(y-1) =0

x=6\frac{y-1}{y-1}

è sbagliato?

Inoltre, utilizzando Derive, l'equazione -xy +x +6y -6=0 mi rappresenta una croce di equazione x=6 e y=1.

Quando ho una equazione dove compare xy ottengo sempre questo tipo di grafico?

Sistema non lineare con 2 equazioni in 2 incognite #64409

avt
Galois
Coamministratore
Ciao emt

Non è sbagliato, ma devi prestare molta attenzione!

Se vuoi ricavare la x dalla prima equazione va bene, ottieni:

x=\frac{6(y-1)}{y-1}

ovvero x=6

a patto che, attenzione, y sia diverso da 1.

A questo punto andrai a sostituire x=6 nella prima equazione ottenendo i punti (6,2) \ \mbox{e} \ (6,0)

e poi dovrai ricordarti dell'imposizione fatta: y \neq 1 ed andare a vedere che succede!

Sostituendo y=1 nella seconda ottieni un'identità quindi la soddisfa.

Le altre due soluzioni del sistema le otterrai quindi andando a sostituire y=1 nella prima equazione emt

inoltre, utilizzando derive, l'equazione -xy +x +6y -6=0 mi rappresenta una croce di equazione x=6 e y=1


Esatto! Ed il motivo è presto detto! Eseguendo il raccoglimento parziale suggerito da jimmypage il primo membro della prima equazione del sistema lo puoi fattorizzare come:

(x-6)(y-1)=0

che non rappresenta altro se non l'unione delle due rette:

x=6 \ \mbox{e} \ y=1


Quando ho una equazione dove compare xy ottengo sempre questo tipo di grafico?


Non è detto! Non ci credi? Prova a plottare:

x^2 + 2xy + 3x + 2y = 0

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, tia31
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Os