Disequazione fratta a coefficienti irrazionali

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Disequazione fratta a coefficienti irrazionali #64334

avt
stillenacht
Punto
Salve a tutti! Vorrei chiedervi una mano per una disequazione fratta con coefficienti irrazionali (radicali). Domani ho un compito dove saranno presenti equazioni, disequazioni e sistemi di entrambi: mi sto allenando facendo esercizi a random sul libro. Naturalmente, però, non mi vengono. emt

Innanzitutto vorrei chiedervi se potreste fornirmi dei link utili che rimandano a tutorial, esercizi, ecc sempre su YouMath.

Ecco la disequazione:

\tfrac{\left(\sqrt{3}x+1\right)^{2}-\left(\sqrt{3}x-1\right)^{2}}{x+\sqrt{3}}>\sqrt{3}

Il risultato fornito dal libro è x < \sqrt{3} \vee x > \tfrac{\sqrt{3}}{3}

Svolgendo l'esercizio, a un certo punto giungo al seguente risultato:

\tfrac{5x\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}} > 0

e sono *quasi* sicuro di aver svolto correttamente tutti i passaggi. Ora, però, giungo a una complicazione: essendo questa una disequazione, devo ora fare il falso sistema per assicurarmi dei risultati corretti, no? Però mi trovo (al numeratore, per esempio) dinanzi una situazione del genere:

5x\sqrt{3} > 0

x(5\sqrt{3}) > 0

x > 0

e idem con il denominatore. Naturalmente non mi trovo perché il libro dà tutt'altro risultato. Se mi potreste illuminare ... emt
 
 

Disequazione fratta a coefficienti irrazionali #64342

avt
BleakHeart
Frattale
Ciao stillenacht, allora portiamo la \sqrt{3} a sinistra e facciamo il mcm

\frac{\sqrt{3}x+1)^2-(\sqrt{3}x-1)^2-\sqrt3(x+\sqrt{3})}{x+\sqrt{3}}>0

svolgendo i vari quadrati del binomio e facendo i vari calcoli aritmetici mi viene:

\frac{3\sqrt{3}x-3}{x+\sqrt{3}}>0

dividendo il numeratore dal denominatore mi viene

x>\frac{3}{3\sqrt{3}} \vee x>-\sqrt{3}

razionalizzo il numeratore per \sqrt{3} in modo tale da farmi venire

x>\frac{\sqrt{3}}{3}

poi faccio il prodotto dei segni ed il risultato che mi viene è:

x>\frac{\sqrt{3} }{3}\vee x<-\sqrt{3}
Ringraziano: stillenacht

Disequazione fratta a coefficienti irrazionali #64345

avt
Galois
Amministratore
Ciao stillenacht emt

Siamo di fronte ad una disequazione fratta:

\tfrac{\left(\sqrt{3}x+1\right)^{2}-\left(\sqrt{3}x-1\right)^{2}}{x+\sqrt{3}}>\sqrt{3}

Il risultato a cui, ad un certo punto giungi, è errato! Ed il motivo lo capirai tra poco.

Iniziamo con lo sviluppare i due quadrati di binomio:

\frac{3x^2+2\sqrt{3}x+1-(3x^2-2\sqrt{3}x+1)}{x+\sqrt{3}}>\sqrt{3}

La parentesi tonda è preceduta da un segno meno. Togliamola facendo attenzione a cambiare il suo contenuto di segno e, in questo stesso passaggio portiamo a primo membro la radice di 3:

\frac{3x^2+2\sqrt{3}x+1-3x^2+2\sqrt{3}x-1}{x+\sqrt{3}}-\sqrt{3} > 0

Facciamo le dovute semplificazioni:

\frac{2\sqrt{3}x+2\sqrt{3}x}{x+\sqrt{3}}-\sqrt{3} > 0

Sommiamo:

\frac{4\sqrt{3}x}{x+\sqrt{3}}-\sqrt{3} > 0

Calcoliamo ora il minimo comune multiplo

\frac{4\sqrt{3}x-\sqrt{3}(x+\sqrt{3})}{x+\sqrt{3}} > 0

E facciamo i conti:

\frac{4\sqrt{3}x-\sqrt{3}x-3}{x+\sqrt{3}} > 0

\frac{3\sqrt{3}x-3}{x+\sqrt{3}} > 0

Ci siamo ora ricondotti alla forma normale. Studiamo quindi il segno di numeratore e denominatore:

N>0 \ \to \ 3\sqrt{3}x-3 >0 \ \to \ \sqrt{3}x-1>0 \ \to \ x>\frac{1}{\sqrt{3}}

che possiamo razionalizzare ed avere:

x>\frac{\sqrt{3}}{3}

D>0 \ \to \ x+\sqrt{3}>0 \ \to \ x>-\sqrt{3}

Studiamone ora il segno:

studio del segno 1


A noi interessa dov'è positiva e quindi per:

x < -\sqrt{3} \ \vee \ x>\frac{\sqrt{3}}{3}


Analisi e consigli: il tuo è un errore dovuto ai calcoli. Presta quindi più attenzione e ricorda che:

- quando sposti dei termini da un membro all'altro devi cambiarne il segno;

- oltre ai link che trovi nelle risposte, utilizzando la barra di ricerca (in alto a destra) troverai centinaia di esercizi svolti emt
Ringraziano: Omega, stillenacht

Disequazione fratta a coefficienti irrazionali #64347

avt
Galois
Amministratore
@BleakHeart: attenzione! Quello che si calcola è il minimo comune multiplo e non il massimo comun divisore emt
Ringraziano: Omega, BleakHeart

Disequazione fratta a coefficienti irrazionali #64349

avt
BleakHeart
Frattale
emt emt
ho sempre confuso il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore tra di loro, ma nei calcoli non li ho mai sbagliati!
La cosa è alquanto bizzarra emt
Ringraziano: Galois

Disequazione fratta a coefficienti irrazionali #64351

avt
stillenacht
Punto
Grazie ad entrambi! emt ora ho capito dove sbagliavo, in pratica era tutto un errore di calcolo che mi riconduceva ad una disequazione con un solo termine da un lato (e allora era normale che mi usciva x > 0).

A proposito ...
BleakHeart ha scritto:
emt emt
ho sempre confuso il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore tra di loro, ma nei calcoli non li ho mai sbagliati!
La cosa è alquanto bizzarra emt

BlackHearth, non ti preoccupare a proposito della confusione che ti è venuta tra mcm e MCD perché io faccio peggio emt emt
Ringraziano: Galois

Re: Disequazione fratta a coefficienti irrazionali #64355

avt
BleakHeart
Frattale
errare humanum est... perseverare ovest emt

:pinch: Spoiler: test nascosto! Clicca qui per visualizzarlo

Re: Disequazione fratta a coefficienti irrazionali #64541

avt
Geronimo_Stilton
Punto
Ciao a tutti! stavo facendo una disequazione di secondo grado e stavo analizzando il numeratore quando mi sono trovata difronte a questo:
x^2=-2
come lo rappresento nel grafico??emt

Re: Disequazione fratta a coefficienti irrazionali #64547

avt
Galois
Amministratore
Ciao geronimo ;)

Come chiaramente specificato nelle linee guida ogni discussione deve presentare un solo argomento. Ti invito quindi ad aprirne una nuova per porre la tua domanda. Qui blocco e, a malincuore cancello la risposta di BleakHeart
Ringraziano: Omega, Iusbe, Geronimo_Stilton
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Os