Esercizio sulla scomposizione di un trinomio particolare

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Esercizio sulla scomposizione di un trinomio particolare #64280

avt
FAQ
Punto
In un esercizio mi viene chiesto di scomporre un trinomio particolare in due indeterminate. È il primo esercizio in cui il polinomio ha più di una indeterminata: come procedo?

Scomporre il seguente trinomio di quarto grado

a^2b^2+9ab+20

Grazie.
 
 

Esercizio sulla scomposizione di un trinomio particolare #64307

avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro compito consiste nel determinare la scomposizione del polinomio

a^2b^2+9ab+20

avvalendosi della regola del trinomio notevole. Prima di effettuare qualsiasi calcolo, effettuiamo una breve parentesi teorica:

consideriamo il trinomio di secondo grado e monico:

x^2+sx+p

Se esistono due numeri A\ \mbox{e} \ B tali che la loro somma coincida con il coefficiente di x e il loro prodotto sia uguale al termine noto, vale a dire:

A+B=s \  \ \ \mbox{e} \ \ \ A\cdot B=p

allora il polinomio si scompone secondo la regola:

x^2+sx+p=(x+A)(x+B)

Si noti che nella spiegazione, il polinomio è nella sola indeterminata x, mentre nel polinomio

a^2b^2+9ab+20

le indeterminate sono 2, a\ \mbox{e} \ b.

Per risolvere l'esercizio, occorre notare che per le proprietà delle potenze a^{2}b^{2}=(ab)^2, di conseguenza:

a^2b^2+9ab+20=(ab)^2+9ab+20=

Inoltre, operando la sostituzione x=ab, ricaviamo il polinomio nella sola indeterminata x:

=x^2+9x+20

Esso si presenta esattamente nella forma richiesta dalla regola del trinomio notevole. Andiamo alla ricerca di due numeri A\ \mbox{e} \ B la cui somma sia uguale al coefficiente di x e il cui prodotto sia uguale al termine noto, ossia:

A+B=9 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ A\cdot B=20

Osservazioni: il prodotto è positivo e la regola dei segni garantisce la concordanza dei due numeri: sono entrambi positivi o entrambi negativi! Dalla positività della somma deduciamo, inoltre, che i due numeri devono essere necessariamente maggiori di zero.

Procedendo un po' per tentativi, scopriamo che i due numeri richiesti sono:

\\ A=5 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=4 \\  \\ \mbox{infatti} \\ \\ A+B=5+4=9 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ A\cdot B=5\cdot 4=20

In base alla regola del trinomio notevole, il polinomio nell'indeterminata x si scompone come segue:

x^2+9x+20=(x+5)(x+4)

Attenzione! Non abbiamo ancora terminato: dobbiamo ripristinare le indeterminate ab tenendo conto della sostituzione x=ab, grazie alla quale l'uguaglianza precedente diventa:

(ab)^2+9ab+20=(ab+5)(ab+4)

Abbiamo ottenuto la scomposizione del polinomio di partenza.
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