Equazione logaritmica in due incognite #64182

avt
Iusbe
Templare
Dopo aver tentato più e più volte di risolvere un'equazione in due incognite con i logaritmi e aver ottenuto sempre risultati diversi, penso proprio sia giunto il momento di chiedere il vostro aiuto.

Data l'equazione in due incognite

\log_{3}(1-x^2-y^2)-\log_{3}(2x+1)=0

rappresentare nel piano cartesiano l'insieme dei punti che la soddisfano.

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, paul spider, Galois, tommy21
 
 

Equazione logaritmica in due incognite #64185

avt
Galois
Amministratore
Siamo in presenza di un'equazione in due incognite nella quale si manifestano diversi logaritmi con la medesima base

\log_{3}(1-x^2-y^2)-\log_{3}(2x+1)=0

Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico, bisogna imporre le condizioni di esistenza per i termini logaritmici: affinché i logaritmi abbiano senso, richiederemo che i loro argomenti siano maggiori di zero, vale a dire

C.E.: \ 1-x^2-y^2>0\ \ \ \wedge \ \ \ 2x+1>0

dove \wedge è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "et" e che sottolinea che le due condizioni devono sussistere contemporaneamente.

Analizziamo la prima relazione, ossia la disequazione in due incognite

1-x^2-y^2>0

Trasportiamo 1 al secondo membro

-x^2-y^2>-1

dopodiché cambiamo i segni e il verso della disequazione

x^2+y^2<1

I punti del piano cartesiano che soddisfano questa relazione giacciono all'interno della circonferenza di centro nell'origine e raggio 1.

Analizziamo la relazione

2x+1>0 \ \ \ \to \ \ \ x>-\frac{1}{2}

la quale individua l'insieme dei punti del piano aventi ascissa maggiore di -\frac{1}{2} - o detto in altri termini, la disequazione individua i punti che appartengono al semipiano destro generato dalla retta verticale di equazione x=-\frac{1}{2}.

Poiché le due condizioni devono valere contemporaneamente, possiamo affermare che l'equazione data è ben posta nella porzione di piano limitata dalla circonferenza

\Gamma:\ x^2+y^2=1

e dalla retta

r: \ x=-\frac{1}{2}

bordi esclusi. Dopo aver analizzato l'insieme di esistenza, possiamo procedere algebricamente

\log_{3}(1-x^2-y^2)-\log_{3}(2x+1)=0

Iniziamo isolando un logaritmo al primo membro

\log_{3}(1-x^2-y^2)=\log_{3}(2x+1)

dopodiché uguagliamo gli argomenti: ricordiamo infatti che due logaritmi con la stessa base coincidono se e solo se i loro argomenti sono positivi e uguali tra loro.

1-x^2-y^2=2x+1\ \ \ \to \ \ \ x^2+y^2+2x=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione che identifica nel piano cartesiano la circonferenza di cui possiamo determinare sia il centro che il raggio.

Indichiamo con a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x, quello di y e il termine noto

a=2 \ \ \ , \ \ \ b=0 \ \ \ , \ \ \ c=0

e determiniamo le coordinate del centro con le relazioni

C(x_{C}, y_{C})=\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)=(-1,0)

Per determinare la lunghezza del raggio, è sufficiente usare la formula

R=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2-c}=\sqrt{(-1)^2+0^2-0}=1

In definitiva, l'equazione

x^2+y^2+2x=0

identifica la circonferenza di centro C(-1,0) e raggio 1. Di tutti i punti di questa circonferenza, noi siamo interessati esclusivamente a quelli che soddisfano le condizioni di esistenza, ossia alle coppie (x,y) che soddisfano le relazioni

x>-\frac{1}{2}\ \ \ \wedge \ \ \ x^2+y^2<1

Dal punto di vista puramente geometrico, cancelleremo i punti della circonferenza

x^2+y^2+2x=0

che fuoriescono dal cerchio x^2+y^2<1 o che hanno ascissa minore o uguale a -\frac{1}{2}.

Esercizi equazioni in due incognite XV

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco, Iusbe
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Os