Equazione logaritmica in due incognite

Dopo aver tentato più e più volte di risolvere un'equazione in due incognite con i logaritmi e aver ottenuto sempre risultati diversi, penso proprio sia giunto il momento di chiedere il vostro aiuto.

Data l'equazione in due incognite



rappresentare nel piano cartesiano l'insieme dei punti che la soddisfano.

Grazie.

Siamo in presenza di un'equazione in due incognite nella quale si manifestano diversi logaritmi con la medesima base



Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico, bisogna imporre le condizioni di esistenza per i termini logaritmici: affinché i logaritmi abbiano senso, richiederemo che i loro argomenti siano maggiori di zero, vale a dire



dove è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "et" e che sottolinea che le due condizioni devono sussistere contemporaneamente.

Analizziamo la prima relazione, ossia la disequazione in due incognite



Trasportiamo 1 al secondo membro



dopodiché cambiamo i segni e il verso della disequazione



I punti del piano cartesiano che soddisfano questa relazione giacciono all'interno della circonferenza di centro nell'origine e raggio 1.

Analizziamo la relazione



la quale individua l'insieme dei punti del piano aventi ascissa maggiore di - o detto in altri termini, la disequazione individua i punti che appartengono al semipiano destro generato dalla retta verticale di equazione .

Poiché le due condizioni devono valere contemporaneamente, possiamo affermare che l'equazione data è ben posta nella porzione di piano limitata dalla circonferenza



e dalla retta



bordi esclusi. Dopo aver analizzato l'insieme di esistenza, possiamo procedere algebricamente



Iniziamo isolando un logaritmo al primo membro



dopodiché uguagliamo gli argomenti: ricordiamo infatti che due logaritmi con la stessa base coincidono se e solo se i loro argomenti sono positivi e uguali tra loro.



Ci siamo ricondotti a un'equazione che identifica nel piano cartesiano la circonferenza di cui possiamo determinare sia il centro che il raggio.

Indichiamo con rispettivamente il coefficiente di , quello di e il termine noto



e determiniamo le coordinate del centro con le relazioni



Per determinare la lunghezza del raggio, è sufficiente usare la formula



In definitiva, l'equazione



identifica la circonferenza di centro e raggio 1. Di tutti i punti di questa circonferenza, noi siamo interessati esclusivamente a quelli che soddisfano le condizioni di esistenza, ossia alle coppie che soddisfano le relazioni



Dal punto di vista puramente geometrico, cancelleremo i punti della circonferenza



che fuoriescono dal cerchio o che hanno ascissa minore o uguale a .


Abbiamo finito.