Equazione goniometrica elementare con cotangente

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Equazione goniometrica elementare con cotangente #64142

avt
FAQ
Punto
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione goniometrica elementare con la cotangente che non sono in grado di affrontare. Dopo aver imposto le condizioni di esistenza per la cotangente, cosa devo fare esattamente?

Determinare le soluzioni della seguente equazione trigonometrica

\cot(x)=-1

Grazie mille.
 
 

Equazione goniometrica elementare con cotangente #64145

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il nostro compito prevede di risolvere l'equazione goniometrica

\cot(x)=-1

Essa è caratterizzata dalla presenza della cotangente che, per sua natura, ci obbliga a imporre il seguente vincolo sul suo argomento:

C.E. \ : \ x\ne k\pi\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

In pratica abbiamo scritto la condizione di esistenza per la cotangente.

Torniamo a occuparci dell'equazione e risolviamola avvalendoci della circonferenza goniometrica.

Per prima cosa rappresentiamo un sistema di assi coordinati OXY, su cui tracciamo la circonferenza di centro nell'origine e raggio 1 (è la circonferenza goniometrica).

Seguendo la definizione geometrica di cotangente, tracciamo la retta tangente alla circonferenza nel punto di coordinate (0,1) (ha equazione Y=1).

Su tale retta individuiamo il punto di ascissa pari a -1 e congiungiamolo con l'origine degli assi mediante una retta.

Essa individua due angoli, orientati in senso antiorario, che rappresentano le soluzioni dell'equazione data riferite all'intervallo [0,2\pi).

Per ricavare le loro ampiezze, basta rifarsi alla ]tabella dei valori notevoli della cotangente, grazie alla quale possiamo scrivere che:

x=\frac{3\pi}{4} \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{7\pi}{4}

Esercizi equazioni goniometriche elementari 13

Ricordando che la cotangente è una funzione periodica, di periodo T=\pi, possiamo usare uno dei due angoli come rappresentante di tutte le altre soluzioni: la scelta del rappresentante è nostra! Operativamente, è sufficiente aggiungere k\pi al rappresentante.

A titolo di esempio, scegliamo \frac{3\pi}{4} come rappresentante, di conseguenza le soluzioni dell'equazione sono:

x=\frac{3\pi}{4}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, tommy21
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