Equazione con logaritmi con basi diverse

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Equazione con logaritmi con basi diverse #64125

avt
MarcUniv5
Punto
Buonasera a tutti, avrei bisogno di una mano per un'equazione logaritmica in cui ci sono logaritmi con basi diverse:

\log_{\frac{1}{2}}(x)-\log_{\frac{1}{4}}(x)=\log_4(16)

Il risultato è 1/16.


Ho provato a risolverlo in questo modo:

log 1/2 (x) + log 4 (x) = log4 (16) ---> log 4 (x) / log 4 (1/2) + log 4 (x) = log 4 (16)
--> log4 (x) - log 4 (1/2) + log 4 (x) - log 4 (16) =0 --> poi non so come procedere...


Grazie in anticipo per l'aiuto emt
 
 

Equazione con logaritmi con basi diverse #64134

avt
Omega
Amministratore
Ciao MarcUniv5,

ahimè non è molto chiaro quel che hai fatto. Un consiglio spassionato: non limitarti alla sola esposizione simbolica e spiega quello che fai, motivandolo.
Vedi...qui su YM personalmente se non capisco cosa ha fatto uno studente, lo dico e passo con la spiegazione di come si deve risolvere l'esercizio. Non succede niente.
Invece un professore che corregge una verifica e che non capisce i passaggi criptici dello studente, si spazientisce e si incazza (aggiungerei giustamente perché di verifiche ne deve correggere venti/trenta). E noi non vogliamo far incazzare chi ci valuta, nevvero?... emt

Indipendentemente da quel che hai fatto, c'è un modo molto più veloce per risolvere l'equazione logaritmica

\log_{\frac{1}{2}}(x)-\log_{\frac{1}{4}}(x)=\log_4(16)

e si basa sulla formula del cambiamento di base per logaritmi. Essa ci permette di riportare tutti i logaritmi alla base 1/2

\log_{\frac{1}{2}}(x)-\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x)}{\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{4}\right)}=\frac{\log_{\frac{1}{2}}(16)}{\log_{\frac{1}{2}}(4)}

Perfetto. Ora possiamo valutare a parte i logaritmi \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{4}\right),\ \log_{\frac{1}{2}}(16),\ \log_{\frac{1}{2}}(4). Ci basta scrivere gli argomento dei logaritmi come potenze di 1/2 e poi applicare la definizione di logaritmo

\frac{1}{4}=\left(\frac{1}{2}\right)^2

16=\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}

4=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}

dove nelle ultime due uguaglianze ho usato le proprietà delle potenze e in particolare la regola delle potenze con esponente negativo.

Dunque

\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{4}\right)=\log_{\frac{1}{2}}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]=2

\log_{\frac{1}{2}}(16)=\log_{\frac{1}{2}}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}\right]=-4

\log_{\frac{1}{2}}(4)=\log_{\frac{1}{2}}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\right]=-2

Riscriviamo l'equazione

\log_{\frac{1}{2}}(x)-\frac{1}{2}\ \log_{\frac{1}{2}}(x)=2

Ora possiamo sommare i due logaritmi al primo membro

\left(1-\frac{1}{2}\right)\log_{\frac{1}{2}}(x)=2

da cui

\frac{1}{2}\ \log_{\frac{1}{2}}(x)=2

ossia

\log_{\frac{1}{2}}(x)=4

Per trovare la soluzione applichiamo l'esponenziale in base 1/2 ad entrambi i membri

x=\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}

Fine. emt

Nota bene: avrei potuto valutare molto più comodamente \log_4(16)=2 direttamente con la definizione di logaritmo, ma ho preferito allungare il procedimento per allenare l'occhio del lettore. So bene che i logaritmi con basi fratte possono creare difficoltà... emt
Ringraziano: Pi Greco, MarcUniv5
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Os