Problema di secondo grado con interpretazione algebrica

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Problema di secondo grado con interpretazione algebrica #63854

avt
tommy21
Cerchio
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un problema con le equazioni di secondo grado che mi chiede di trovare 3 numeri pari consecutivi di cui conosco la somma dei loro quadrati. Non riesco proprio a capire qual è l'equazione risolvente.

Trovare 3 numeri naturali pari consecutivi tali che la somma dei loro quadrati sia 116.

Grazie.
 
 

Problema di secondo grado con interpretazione algebrica #63872

avt
Galois
Amministratore
Per risolvere il problema con le equazioni, è necessario innanzitutto analizzare il testo, capire qual è l'incognita cui attribuire il simbolo x, esplicitare e risolvere l'equazione risolvente.

Dal testo comprendiamo che bisogna trovare tre numeri pari che siano numeri consecutivi.

Indicato con x il numero più piccolo dei tre, il suo successivo pari si ottiene sommando 2 a x, dunque x+2.

Il successivo pari di x+2 si ricava sommandogli 2 e la sua espressione matematica è x+2+2 = x+4. In pratica i tre numeri pari consecutivi sono:

x ; x+2 ; x+4

Grazie a tali espressioni, siamo in grado di tradurre in matematichese la frase "la somma dei loro quadrati è 116" e di ottenere l'equazione risolvente

x^2+(x+2)^2+(x+4)^2 = 116

Iniziamo con i passaggi algebrici, sviluppando per prima cosa i quadrati di binomio

x^2+x^2+4x+4+x^2+8x+16 = 116

Trasportiamo 116 al primo membro cambiandogli segno, dopodiché sommiamo tra loro i monomi simili

3x^2+12x-96 = 0

Quella ottenuta non è altro che un'equazione di secondo grado completa che può essere ulteriormente semplificata mettendo in evidenza il fattore comune 3

3(x^2+4x-32) = 0

da cui, dividendo a destra e a sinistra per 3

x^2+4x-32 = 0

Indichiamo con a, b e c rispettivamente il coefficiente di x^2, il coefficiente di x e il termine noto

a = 1 ; b = 4 ; c = -32

Poiché b è un multiplo di 2, possiamo risolvere l'equazione con la formula del delta quarti

(Δ)/(4) = ((b)/(2))^2-ac = ((4)/(2))^2-1·(-32) = 4+32 = 36

Per ricavare le soluzioni, usiamo la relazione:

 x_(1,2) = (-(b)/(2)±√((Δ)/(4)))/(a) = -(4)/(2)±√(36) = -2±6 = -2-6 = -8 = x_1 ;-2+6 = 4 = x_2

Poiché il testo parla di numeri naturali, dobbiamo necessariamente escludere la soluzione negativa x_1 = -8.

x = 4 è dunque il più piccolo tra i tre numeri pari consecutivi e gli altri due sono:

x+2 = 4+2 = 6 ; x+4 = 4+4 = 8

La tripla che soddisfa il problema è dunque 4, 6 e 8.
Ringraziano: Omega, CarFaby, Iusbe
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