Equazioni esponenziale risolvibile con logaritmi

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Equazioni esponenziale risolvibile con logaritmi #63825

avt
MarcUniv5
Punto
Buonasera, avrei bisogno di una mano nel risolvere la seguente equazione esponenziale utilizzando i logaritmi

3^{x+1} =21

so che è molto facile ma ho bisogno di capire come si risolvono.
Grazie
 
 

Re: Equazioni esponenziale risolvibile con logaritmi #63830

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao MarcUniv5 emt

Cortesemente leggi il regolamento del forum. Il tuo post non rispetta alcuni punti. In particolare manca completamente un tuo tentativo. Per questa volta sorvolo perché è il tuo primo messaggio. 

Abbiamo l'equazione esponenziale:

3^{x+1}=21

Essa si presenta nella forma:

a^{f(x)}=b

Quando l'equazione esponenziale si presenta in questa forma, dobbiamo semplicemente applicare il logaritmo che ha per base proprio a.

Nel nostro caso applicheremo il logaritmo in base 3 membro a membro:

\log_{3}(3^{x+1})= \log_{3}(21)

Per definizione di logaritmo il primo membro coincide con l'esponente, infatti:

\log_{3}(3^{x+1})= x+1

Pertanto l'equazione diventa:

x+1= \log_{3}(21)

Portiamo al secondo membro 1 ricordandoci di cambiare segno:

x= \log_{3}(21)-1


Scomponi 21 in fattori primi.

21= 3\times 7

x= \log_{3}(3\times 7)-1

Per la proprietà dei logaritmi sul prodotto:

\log_{3}(3\times 7)= \log_{3}(3)+\log_{3}(7)= 1+\log_{3}(7)

Ottimo! Allora:

x= \overbrace{\log_{3}(3\times 7)}^{= 1+\log_{3}(7)}-1= 1+\log_{3}(7)-1= \log_{3}(7)
======================================
Un altro modo è il seguente:

3^{x+1}= 21

Scriviamo 3^{x+1}= 3\cdot 3^{x}, l'equazione si scrive come:

3\cdot 3^{x}= 21

Dividiamo membro a membro per 3:

3^{x}= 7

Applichi il logaritmo in base 3 membro a membro:

x= \log_{3}(7)

Se hai dubbi chiedi. emt
Ringraziano: Omega, Galois, Iusbe, MarcUniv5

Re: Equazioni esponenziale risolvibile con logaritmi #63846

avt
MarcUniv5
Punto
Grazie per la risposta, vorrei giusto una delucidazione, ho svolto l'esercizio nel seguente modo:

\log(3^{x+1})= \log (7*3)

(x+1)\log(3) = \log(7) + \log(3)

x \log(3)+ \log(3) = \log(7) + \log(3)

 x \log(3) = \log(7)

x= \frac{\log(7)}{\log(3)}

applicando il cambio di base:x= \log_3(7)

Re: Equazioni esponenziale risolvibile con logaritmi #63848

avt
Ifrit
Ambasciatore
Sì sì, va benissimo. emt Hai applicato bene la formula per il cambiamento di base per i logaritmi. Molto molto bene. emt
Ringraziano: Pi Greco, MarcUniv5
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Os