Problema algebrico di secondo grado con numeri consecutivi

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Problema algebrico di secondo grado con numeri consecutivi #63808

avt
Iusbe
Templare
Dovrei risolvere un problema usando le equazioni di secondo grado che mi chiede di trovare due numeri interi consecutivi nota la somma dei loro quadrati.

Trovare due numeri interi consecutivi tali che la somma dei loro quadrati sia 761.

Come si fa? Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, BleakHeart
 
 

Problema algebrico di secondo grado con numeri consecutivi #63811

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere il problema con le equazioni bisogna tradurre il testo nel linguaggio matematico. In altri termini, è necessario estrapolare ogni informazione che permetta di costruire l'equazione risolvente.

Nel caso in esame, dobbiamo determinare due numeri interi che sono anche consecutivi.

Indichiamo quindi con x il più piccolo tra i due e osserviamo che il suo consecutivo si ottiene aggiungendo l'unità, x+1.

La traccia ci informa che il quadrato dei due numeri deve essere uguale a 761 e nel linguaggio matematico, tale affermazione permette di scrivere la risolvente:

x^2+(x+1)^2 = 761

Sviluppiamo il quadrato di binomio

x^2+x^2+2x+1 = 761

portiamo tutto al primo membro

x^2+x^2+2x+1-761 = 0

sommiamo i monomi simili tra loro e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti di x

2x^2+2x-760 = 0 → x^2+x-380 = 0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado completa i cui coefficienti sono

a = 1 ; b = 1 ; c = -380

Per risolverla, calcoliamo il discriminante avvalendoci della formula

Δ = b^2-4ac = 1^2-4·1·(-380) = 1521

Poiché il delta è positivo, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte che otteniamo sfruttando la formula

 x_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-1±√(1521))/(2·1) = (-1±39)/(2) = (-1-39)/(2) = -20 = x_1 ; (-1+39)/(2) = 19 = x_2

Attenzione, non abbiamo ancora finito: dobbiamo scrivere il consecutivo di ciascuna soluzione.

Il consecutivo di x = -20 è

x+1 = -19

mentre il consecutivo di x = 19 è

x+1 = 19+1 = 20

In conclusione, il problema ha per soluzioni le coppie

(-20,-19) e (19,20)

Abbiamo finito.
Ringraziano: CarFaby, Iusbe
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Os