Problema di secondo grado con interi consecutivi e somma di quadrati

Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un problema con le equazioni di secondo grado. Il testo mi chiede di trovare due numeri interi positivi di cui conosco il rapporto e la somma dei loro quadrati.

Trovare due numeri interi positivi sapendo che il loro rapporto è e che la somma dei loro quadrati è 208.

Come si fa? Grazie.

Possiamo risolvere l'esercizio in due maniere differenti ma che comunque conducono alle medesime soluzioni. In maniera più esplicita, sfrutteremo le informazioni fornite dal problema per costruire due equazioni risolventi diverse ma che alla fine ci permetteranno di ricavare gli stessi risultati.

Prima strategia

Dobbiamo determinare due numeri che indichiamo con di cui conosciamo il loro rapporto

e la somma dei loro quadrati

Dal rapporto possiamo esprimere in termini di , moltiplicando i due membri per quest'ultima

A questo punto rimpiazziamo l'espressione di all'interno della seconda relazione

in questo modo otteniamo un'equazione di secondo grado nella sola incognita che possiamo esprimere in forma normale sfruttando a dovere le proprietà delle potenze

Sommiamo tra loro i termini simili al membro di sinistra

e moltiplichiamo i due membri per 9 e dividiamo in seguito per 13

A conti fatti, ci accorgiamo che essa è un'equazione pure le cui soluzioni sono

ma attenzione: la soluzione negativa dev'essere scartata perché il testo richiede esclusivamente soluzioni intere positive, pertanto un numero è . Per ottenere il secondo numero, vale a dire , è sufficiente rimpiazzare nella relazione

ricavando

I due numeri che risolvono il problema sono dunque

Seconda strategia

Procediamo in maniera differente, partendo ancora una volta dal rapporto delle due grandezze. Sappiamo che il rapporto tra i due numeri positivi è , ciò vuol dire che esiste un numero tale che il primo numero è multiplo del numeratore, mentre il secondo è multiplo del denominatore della frazione, ossia:

La frase "la somma dei quadrati dei due numeri è 208" si traduce nell'equazione

che, una volta sostituite le espressioni in , diventa

Distribuiamo l'esponente a ciascun fattore della base

e una volta sommati i termini simili, ricaviamo l'equazione pura

da cui

La soluzione negativa è da scartare perché i due numeri sono positivi, ecco perché considereremo esclusivamente il valore mediante il quale siamo in grado di ricavare i due numeri:

Ecco fatto!