Problema di secondo grado con interi consecutivi e somma di quadrati

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Problema di secondo grado con interi consecutivi e somma di quadrati #63800

avt
xMauri94
Punto
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un problema con le equazioni di secondo grado. Il testo mi chiede di trovare due numeri interi positivi di cui conosco il rapporto e la somma dei loro quadrati.

Trovare due numeri interi positivi sapendo che il loro rapporto è \frac{2}{3} e che la somma dei loro quadrati è 208.

Come si fa? Grazie.
Ringraziano: Omega
 
 

Problema di secondo grado con interi consecutivi e somma di quadrati #63813

avt
Omega
Amministratore
Possiamo risolvere l'esercizio in due maniere differenti ma che comunque conducono alle medesime soluzioni. In maniera più esplicita, sfrutteremo le informazioni fornite dal problema per costruire due equazioni risolventi diverse ma che alla fine ci permetteranno di ricavare gli stessi risultati.

Prima strategia

Dobbiamo determinare due numeri che indichiamo con x\ \mbox{e} \ y di cui conosciamo il loro rapporto

\frac{y}{x}=\frac{2}{3}

e la somma dei loro quadrati

x^2+y^2=208

Dal rapporto possiamo esprimere y in termini di x, moltiplicando i due membri per quest'ultima

y=\frac{2}{3}x

A questo punto rimpiazziamo l'espressione di y all'interno della seconda relazione

x^2+y^2=208 \ \ \ \to \ \ \ x^2+\left(\frac{2}{3}x\right)^2=208

in questo modo otteniamo un'equazione di secondo grado nella sola incognita x che possiamo esprimere in forma normale sfruttando a dovere le proprietà delle potenze

x^2+\frac{4}{9}x^2=208

Sommiamo tra loro i termini simili al membro di sinistra

\frac{13}{9}x^2=208

e moltiplichiamo i due membri per 9 e dividiamo in seguito per 13

13x^2=208\cdot 9 \ \ \ \to \ \ \ x^2=\frac{208\cdot 9}{13} \ \ \ \to \ \ \ x^2=144

A conti fatti, ci accorgiamo che essa è un'equazione pure le cui soluzioni sono

x_1=-12 \ \ \ ; \ \ \ x_2=12

ma attenzione: la soluzione negativa dev'essere scartata perché il testo richiede esclusivamente soluzioni intere positive, pertanto un numero è x=12. Per ottenere il secondo numero, vale a dire y, è sufficiente rimpiazzare x=12 nella relazione

y=\frac{2}{3}x

ricavando

y=\frac{2}{3}\cdot 12 \ \ \ \to \ \ \ y=8

I due numeri che risolvono il problema sono dunque

x=12 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ y=8



Seconda strategia

Procediamo in maniera differente, partendo ancora una volta dal rapporto delle due grandezze. Sappiamo che il rapporto tra i due numeri positivi è \frac{2}{3}, ciò vuol dire che esiste un numero x tale che il primo numero è multiplo del numeratore, mentre il secondo è multiplo del denominatore della frazione, ossia:

\mbox{numero 1}=2x \ \ \ ; \ \ \ \mbox{numero 2}=3x

La frase "la somma dei quadrati dei due numeri è 208" si traduce nell'equazione

(\mbox{numero 1})^2+(\mbox{numero 2})^2=208

che, una volta sostituite le espressioni in x, diventa

(2x)^2+(3x)^2=208

Distribuiamo l'esponente a ciascun fattore della base

4x^2+9x^2=208

e una volta sommati i termini simili, ricaviamo l'equazione pura

13x^2=208 \ \ \ \to \ \ \ x^2=\frac{208}{13} \ \ \ \to \ \ \ x^2=16

da cui

x=-4 \ \vee \ x=4

La soluzione negativa è da scartare perché i due numeri sono positivi, ecco perché considereremo esclusivamente il valore x=4 mediante il quale siamo in grado di ricavare i due numeri:

\\ \mbox{numero 1}=2x=2\cdot 4= 8 \\ \\ \mbox{numero 2}=3x=3\cdot 4=12

Ecco fatto!
  • Pagina:
  • 1
Os